No projeto de um sistema de esteiras transportadoras, pequenos blocos metálicos são descarregados com uma velocidade de 0,4   m / s sobre uma rampa pela esteira transportadora superior mostrada. Se o coeficiente de atrito dinâmico entre os blocos e a rampa é de 0,30 , calcule o ângulo θ que a rampa deve fazer com a horizontal para que os blocos sejam transferidos sem deslizar para a esteira transportadora inferior que se move na velocidade de 0,14   m / s .

Passo 1

Primeiramente, observe o seguinte diagrama de forças sobre o bloco:

Na direção y perpendicular à superfície, a componente do peso e a normal se equilibram, de modo que:

N = P y = m g cos ⁡ θ

Na direção x paralela à superfície, a outra componente do peso e a força de atrito atuam, de modo que a força resultante F é:

F = P x - F a t

F = m g   s e n   θ - μ k N

F = m g   s e n   θ - μ k m g cos ⁡ θ

F = m g s e n   θ - μ k cos ⁡ θ

Passo 2

Sabendo da força resultante na direção do movimento, calculamos o trabalho total:

U = F   .   d   . cos ⁡ 0

U = F 1,5 s e n   θ 1

U = m g s e n   θ - μ k cos ⁡ θ 1,5 s e n   θ

U = 1,5 m g 1 - μ k t g   θ

U = ( 1,5 ) ( m ) 9,81 1 - 0 , 3 t g   θ

U = 14,715 m 1 - 0,3 t g   θ

Por outro lado, considerando que o bloco não desliza quando chega à esteira inferior, ou seja, que ele chega com a mesma velocidade da esteira, v = 0,14   m / s , obtemos a variação da energia cinética:

Δ T = m v 2 2 - m v 0 2 2

Δ T = m 0 , 14 2 2 - m 0,4 2 2

Δ T = - 0,0702 m

Passo 3

Como a variação da energia cinética de um corpo é igual ao trabalho total realizado sobre ele, temos:

Δ T = U

- 0,0702 m = 14,715 m 1 - 0,3 t g   θ

- 0,0702   t g   θ = 14,715   t g   θ - 14,715 0,3

t g   θ = 0,2986

θ = t g - 1 ( 0,2986 )

θ = 16,62 °

Resposta

θ = 16,62 °

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