Um pistão de massa m e seção transversal de área A está em equilíbrio sob a pressão p no centro de um cilindro fechado em ambas as extremidades. Admitindo que o cilindro seja empurrado para a esquerda a uma distância a / 2 e liberado, e sabendo que a pressão em cada lado do pistão varia inversamente com o volume, determine a velocidade do pistão quando ele alcançar novamente o centro do cilindro. Despreze o atrito entre o pistão e o cilindro e expresse sua resposta em termos de m , a , p e A

Passo 1

Vamos lá! Como estamos em um capítulo que trabalha com trabalho e energia, vamos utilizar esta metodologia para resolver esta questão!

Mas, não é por isto que não devemos identificar as forças do nosso problema e construir um diagrama de corpo livre. Portanto, este é o nosso primeiro passo (e até o mais importante!).

Então, fazendo o diagrama de corpo livre, temos,

Passo 2

Antes de determinarmos a velocidade quando o pistão alcança o centro do cilindro, precisamos determinar as expressões para as forças a esquerda e a direita do cilindro, F e e F d respectivamente.

Como a força é o resultado da pressão vezes a área da seção transversal, temos:

F e = p e A F d = p d A

E como as pressões p e e p d variam inversamente com o volume, isto é,

p x = p V i n i c i a l V x

Temos então:

F e = p V V e A = p A a A x A = p a A x F d = p V V d A = p A a A a + a - x A = p a A 2 a - x

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para aplicarmos o método que vemos aplicando nas questões anteriores, o princípio do trabalho e energia. Para o ponto inicial, em x 1 = a / 2 , o pistão está em repouso v 1 = 0 .

Queremos determinar qual a velocidade v 2 quando o pistão atingir a marca x 2 = a . Escrevendo a equação da energia cinética para ambos os pontos, temos:

T 1 = m v 1 2 2 = 0

T 2 = m v 2 2 2

Já o trabalho das forças F e e F d será:

U 1 → 2 = ∫ x 1 x 2 F e - F d d x = ∫ a / 2 a p a A x - p a A 2 a - x d x

U 1 → 2 = p a A ln ⁡ x + ln ⁡ 2 a - x a / 2 a

U 1 → 2 = p a A ln ⁡ a a / 2 + ln ⁡ a 3 a / 2 = p a A ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 / 3

U 1 → 2 = p a A ln ⁡ a a / 2 + ln ⁡ a 3 a / 2 = p a A ln ⁡ 4 3

Aplicando o princípio de trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

0 + p a A ln ⁡ 4 3 = m v 2 2 2

v 2 = 2 p a A ln ⁡ 4 3 m = 0,759 p a A m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

v 2 = 0,759 p a A m

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