Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 75

Prove que se o bloco é solto do repouso no ponto de uma trajetória lisa de formato arbitrário, a velocidade que ele alcança quando chega ao ponto é igual à velocidade que ele alcança quando cai livremente de uma altura ; ou seja, .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes condições:

Bloco solto do repouso ();

Trajetória lisa (força de resistência à tração pode ser desprezada);

Trajetória com formato arbitrário;

Velocidade em igual a ;

Como o corpo está indo sentido ponto A, escolheu-se e .

Para mostrar que , inicialmente desenhamos o diagrama de corpo livre do bloco para uma trajetória qualquer usando a imagem fornercida pelo enunciado como referência.

Também sabemos que

Onde é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado, é a massa do bloco e é a aceleração gravitacional ( m/s2).

Como a trajetória é aleatória, não temos dados suficientes para encontrar e . Portanto iniciaremos nossa análise através de .

Passo 2

Primeiramente, vamos utilizar a Equação do Movimento no sentido do eixo tangencial.

Sabemos que

Porém, também sabemos que

Onde é o espaço percorrido pelo bloco. Logo,

Igualandao os valores de , obtemos:

Passo 3

Agora iremos resolver a equação encontrada. Ela é uma EDO linear homogênea de 10 ordem e pode ser resolvida pelo método de equações separáveis.

Não conhecemos , portanto devemos relacionar este valor com algo que conhecemos. Neste caso, conhecemos a altura, portanto iremos relacionar com . Voltando no Diagrama de corpo livre, vemos a seguinte relação