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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 2

Prove a identidade do produto triplo escalar A * B xx C = A xx B * C .

Passo 1

Partimos da ideia de que cada vetor possui as três coordenadas cartesianas, isto é:

A = A_x i + A_y j + A_z k

B = B_x i + B_y j + B_z k

C = C_x i + C_y j + C_z k

Passo 2

Aplicando o primeiro produto triplo escalar tem-se que:

A * B xx C = (A_x i + A_y j + A_z k) * |[[i,j,k],[B_x,B_y,B_z],[C_x,C_y,C_z]]| =

= A_x (B_y C_z - B_z C_y) + A_y (B_z C_x - B_x C_z) + A_z (B_x C_y - B_y C_x)

:. A * B xx C = A_x B_y C_z - A_x B_z C_y + A_y B_z C_x - A_y B_x C_z + A_z B_x C_y - A_z B_y C_x

Passo 3

Aplicando o segundo produto triplo escalar:

A xx B * C = |[[i,j,k],[A_x,A_y,A_z],[B_x,B_y,B_z]]| * (C_x i + C_y j + C_z k) =

= C_x (A_y B_z - A_z B_y) + C_y (A_z B_x - A_x B_z) + C_z (A_x B_y - A_y B_x)

:. A xx B * C = C_x A_y B_z - C_x A_z B_y + C_y A_z B_x - C_y A_x B_z + C_z A_x B_y - C_z A_y B_x

Rearranjando esta última equação:

A xx B * C = A_x B_y C_z - A_x B_z C_y + A_y B_z C_x - A_y B_x C_z + A_z B_x C_y - A_z B_y C_x = A * B xx C

Logo,

A xx B * C = A * B xx C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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