Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 86b
Quatro pranchas de madeira, cada uma de 38x190mm de seção transversal,
são firmemente pregadas juntas, como mostrado, para formar uma coluna. Sabendo-se
que para o tipo de madeira usada E=12GPa e que a tensão admissível a compressão,
na direção paralela as fibras, é de 10MPa, determinar a carga centrada admissível,
quando o comprimento efetivo na coluna é de:(a) 3,2m;(b)1,6m.
Passo 1
Fala meus projetistas de colunas, tudo certo?
Começamos agora com colunas de madeira, e o que muda em relação ao que a gente já viu? Só algumas equações, existe um jeito geral de se resolver colunas de madeira e o jeito específico para cada caso, aqui temos uma seção qualquer e as equações serão mostradas abaixo.
A gente calcula primeiro o parâmetro , que é dado por:
Onde:
é a tensão admissível dada no enunciado.
E vamos comparar o parâmetro abaixo com , avaliando alguns limites para o mesmo que nos darão cálculos diferentes para as tensões que levam ao peso admissível:
Onde:
é o comprimento efetivo da coluna e é o raio de giração.
Lembrando que:
Temos 3 limites para avaliar, o primeiro caso é:
Se estiver nesses limites a coluna é curta e traremos as fórmulas da tensão para esse caso. Para colunas intermediárias temos o nosso segundo caso:
E para colunas longas temos o último caso:
Se por acaso não estiver contido nesses limites a coluna não pode ser projetada. Por fim traremos o seguinte para o peso admissível.
Passo 2
Vamos lá ao cálculo do nosso parâmetro K:
E agora para o raio de giração vamos avaliar a figura:
E aqui temos que escolher o eixo fraco repare que a seção é quadrada, então não possui eixo fraco e aí o momento de inércia é:
Onde é cada lado de ponta a ponta da peça, medindo 178mm.
Substituindo os valores temos:
Daí:
E a área da seção vazada é:
E enfim substituindo os valores encontrados na equação do raio de giração:
E enfim nosso parâmetro para o item b. que possui comprimento efetivo .
Agora avaliamos que o nosso parâmetro está no intervalo:
O que classifica nossa estrutura como coluna curta.
Passo 3
Para esse tipo de coluna a tensão admissível é dada por:
É a tensão fornecida no enunciado.
E como falamos lá no passo 1, a relação do peso admissível e a tensão admissível são dados por:
E substituindo:
E em