Um dos requisitos críticos no projeto de uma perna artificial para um amputado é evitar que a articulação do joelho dobre sob a carga quando a perna está esticada. Como uma primeira aproximação, simule a perna artificial pelos dois elos leves com uma mola de torção em sua junta comum. A mola desenvolve um torque M = Kβ, que é proporcional ao ângulo de curvatura β na junta. Determine o valor mínimo de K que garantirá a estabilidade da articulação do joelho para β = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa

Observe que não há forças externas agindo, portanto, podemos escrever a equação de equilíbrio como

δ V = 0 δ V g _ + δ V e = 0 (1)

Podemos ver no esboço que a distância h é

h = 2 l c o s ⁡ β 2

Enquanto a deflexão angular da mola é β

Passo 2

Expressão para energia potencial gravitacional

V g = m g h

Substituiremos h  por  2 l c o s ⁡ β 2

V g = 2 m g l c o s ⁡ β 2

Derivaremos ambos lados da equação

δ V g = - m g l s i n ⁡ β 2 δ β (2)

Passo 3

Expressão para energia potencial elástica

V e = 1 2 k T β 2

Derivar ambos lados da equação

δ V e = k T β δ β (3)

Passo 4

A seguir, substituiremos δVg e δVe pelas expressões (2) e (3) na equação de equilíbrio (1)

- m g l s i n ⁡ β 2 + k T β = 0

Observe que o sistema é estável quando a segunda derivada da equação de equilíbrio é maior que zero

- m g l s i n ⁡ β 2 + k T β d V d θ > 0 - m g l 2 c o s ⁡ β 2 + k T > 0

Para verificar a estabilidade da posição β = 0, vamos simplesmente colocar o valor de β em

- m g l 2 cos ⁡ β 2 ⏞ - 1 + k T > 0 - m g l 2 + k T > 0 k T > m g l 2

Podemos ver que o valor mínimo de kT necessário para garantir a estabilidade é

k T , m i n = m g l 2

Resposta

k T , m i n = m g l 2

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