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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 12

12. A haste fina A B é presa a um colar A e repousa sobre uma pequena roda em C . Desprezando o raio da roda e o efeito do atrito, deduza uma expressão para a intensidade da força Q necessária para se manter o equilíbrio da haste.

Passo 1

Para achar o que o enunciado pede, vamos considerar um pequeno deslocamento virtual δ θ do braço A B , esse deslocamento não acontece na realidade, ele é imaginário, mas podemos fazer isso para conseguirmos resolver o problema.

Então vamos prosseguir usando o método do deslocamento virtual e assim usar a técnica do trabalho virtual, precisamos escrever os deslocamentos dos outros membros que sofrem ação de forças que realizam trabalho em termos de δ θ .

Tendo isso poderemos usar o princípio do trabalho virtual, por isso acima comentei de só considerar forças que realizam trabalho, esse princípio tem como fórmula principal:

δ U = M δ θ + F δ s = 0

Para isso, vamos antes considerar o eixo y passando por C e vamos considerar dois pontos auxiliares, o ponto A ' que fica a uma distância a do ponto A na horizontal e o ponto C ' que fica na mesma linha horizontal de C e abaixo de B .

Passo 2

Vamos achar agora os deslocamentos dos membros que tem forças que realizam trabalho com o deslocamento δ θ .

Temos os pontos A e B com forças que realizam trabalho.

Então temos o seguinte:

A ' C a = tan ⁡ θ

⇒ A ' C = a tan ⁡ θ

y A = - A ' C

= - a tan ⁡ θ

δ y A = - a cos 2 ⁡ θ δ θ

E temos que:

B C ' = l sin ⁡ θ - A ' C

= l sin ⁡ θ - a tan ⁡ θ

y B = B C ' = l sin ⁡ θ - a tan ⁡ θ

δ y B = l cos ⁡ θ δ θ - a cos 2 ⁡ θ δ θ

Passo 3

Então abrindo a equação do trabalho virtual temos:

Q δ y A - P δ y B = 0

Substituindo o que temos, ficamos com:

⇒ - Q - a cos 2 ⁡ θ δ θ - P l cos ⁡ θ δ θ - a cos 2 ⁡ θ δ θ = 0

Isolando Q temos o seguinte:

Q a cos 2 ⁡ θ δ θ = P l cos ⁡ θ δ θ - a cos 2 ⁡ θ δ θ

⇒ Q = P l a cos 3 ⁡ θ - 1

Resposta

Q = P l a cos 3 ⁡ θ - 1

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