Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 41
A resistência aerodinâmica ao movimento de um carro é aproximadamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. A resistência adicional ao atrito é constante, de modo que a aceleração do carro quando em ponto morto pode ser escrita , onde e são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial quando o motor é desengrenado, derive uma expressão para a distância necessária para o carro mover-se em ponto morto até parar.
Passo 1
Vamos organizar as informações do enunciado. A primeira coisa que temos é a aceleração do carro:
A segundo informação é que o carro percorre uma distância até parar, e nosso objetivo é calcular essa distância:
Para aproveitarmos essa informação vamos precisar de uma relação entre a posição e a velocidade.
Passo 2
Beleza, primeiro vamos lembrar da definição da aceleração, e então fazer alguns truques algébricos:
Assim ficamos com uma equação diferencial:
Substituindo a expressão para a aceleração do carro:
E separando as variáveis:
Passo 3
Agora vamos integrar dos dois lados, lembrando que a vai de até enquanto vai de até :
Podemos sumir com aquele sinal de menos se trocarmos os limites de integração na direita:
Essa é uma integral clássica de logaritmo:
Resolvido!
Resposta
A distância necessária é .