A resistência aerodinâmica ao movimento de um carro é aproximadamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. A resistência adicional ao atrito é constante, de modo que a aceleração do carro quando em ponto morto pode ser escrita a = - C 1 - C 2 v ² ², onde C 1 e C 2 são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial v 0 quando o motor é desengrenado, derive uma expressão para a distância D necessária para o carro mover-se em ponto morto até parar.

A distância necessária é D = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 .

Enunciado

Vamos organizar as informações do enunciado. A primeira coisa que temos é a aceleração do carro:

A segundo informação é que o carro percorre uma distância até parar, e nosso objetivo é calcular essa distância:

Para aproveitarmos essa informação vamos precisar de uma relação entre a posição e a velocidade.

Beleza, primeiro vamos lembrar da definição da aceleração, e então fazer alguns truques algébricos:

Assim ficamos com uma equação diferencial:

Substituindo a expressão para a aceleração do carro:

E separando as variáveis:

Agora vamos integrar dos dois lados, lembrando que a vai de até enquanto vai de até :

Podemos sumir com aquele sinal de menos se trocarmos os limites de integração na direita:

Essa é uma integral clássica de logaritmo:

Resolvido!

A distância necessária é .