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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 20

Resolva o Problema 10.8 usando o círculo de Mohr.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando o centro e o raio do círculo de Mohr:

epsilon_C = (epsilon_x + epsilon_y)/(2) = (520 (10^(- 6)) - 760 ( 10^(- 6) ))/(2) -> epsilon_C = - 120 (10^(- 6))

R = sqrt((epsilon_y - epsilon_C)^2 + ((gamma_x y)/(2))^2) = sqrt([(- 760) (10^(- 6)) - ( - 120 ) ( 10^(- 6) )]^2 + [(- 750 ( 10^(- 6) ))/(2)]^2)

R = 741,77 ( 10^(- 6) )

Passo 2

Agora iremos esboçar o círculo de Mohr para o sistema em estudo, com as coordenadas A ( epsilon_x ; 0,5 gamma_x y ) e C ( epsilon_C ; 0 ) :

Do círculo de Mohr, podemos obter o valor das deformações principais representadas pelas coordenadas dos pontos B e D:

epsilon_1 = epsilon_C + R = - 120 (10^(- 6)) + 741,77 (10^(- 6)) -> epsilon_1 = 621,77 ( 10^(- 6) )

epsilon_2 = epsilon_C - R = - 120 (10^(- 6)) - 741,77 (10^(- 6)) -> epsilon_2 = - 861,77 ( 10^(- 6) )

Agora podemos encontrar a orientação das deformações principais:

t g (2 theta_P 1) = (0,5 gamma_x y)/(epsilon_x - epsilon_C) -> theta_P 1 = (1)/(2) t g^(- 1) [(0,5 gamma_x y)/(epsilon_x - epsilon_C)]

theta_P 1 = (1)/(2) t g^(- 1) [(0,5 (- 750) (10^(- 6)))/(520 (10^(- 6)) - (- 120) (10^(- 6)))] -> theta_P 1 = - 15,18 °

E, por sua vez:

theta_P 2 = theta_P 1 - 90 ° -> theta_P 2 = - 105,18 °

Passo 3

Agora iremos encontrar o plano de máximo cisalhamento, representado pelo ponto E no círculo de Mohr do passo 2:

gamma_m a x = - 2 R = - 2 ( 741,77 ) ( 10^(- 6) )

gamma_m a x = - 1483,5 ( 10^(- 6) )

E, por fim, iremos encontrar a direção do plano de máximo cisalhamento:

t g (2 theta_s) = [- (epsilon_x - epsilon_C)/(0,5 gamma_x y)] -> theta_s = (1)/(2) t g^(- 1) [- (epsilon_x - epsilon_C)/(0,5 gamma_x y)]

theta_s = (1)/(2) t g^(- 1) [- (520 (10^(- 6)) - ( - 120 ) ( 10^(- 6) ))/(0,5 ( - 750 ) ( 10^(- 6) ))]

theta_s = 29,82 ° ↻

Resposta

epsilon_1 = 621,77 ( 10^(- 6) )

epsilon_2 = - 861,77 ( 10^(- 6) )

theta_P 1 = - 15,18 °

theta_P 2 = - 105,18 °

gamma_m a x = - 1483,5 ( 10^(- 6) )

theta_s = 29,82 ° ↻

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