Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 44
Resolva o Problema 7.22 usando o círculo de Mohr.
Passo 1
Beleza! Através dos dados que foram dados no enunciado, vamos desenhar o elemento diferencial de tensões para o estado fornecido, escrevendo em função da força P e da área da seção. Com o elemento diferencial, vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensões e encontrar um ponto para a rotação de 25° do plano a-a.
Feito isso, conseguimos encontrar as expressões para a tensão normal e de cisalhamento nesse ponto, depois disso fica fácil! É só isolar a força P que aparece nas equações e encontrar P para os dois casos, e aí pegar o menor valor entre eles, para que as duas tensões admissíveis sejam respeitadas. Então bora!
Passo 2
Tá legal! Vamos começar desenhando o elemento diferencial para o estado dado, onde só temos tensão em y, então teremos:
Sabemos que a tensão é dada pela força sobre a área, então, para esse elemento diferencial, temos:
Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, dada por:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:
Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:
Passo 3
Com o círculo de Mohr esboçado, podemos ver que o seu raio será metade da tensão em Y, ou seja:
Agora precisamos rotacionar o elemento diferencial de 25° para podermos encontrar o estado de tensão no plano a-a. Sendo assim, rotacionando o elemento em 25°, ou seja, percorrendo 50° no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:
Agora precisamos encontrar as expressões para os valores da tensão normal e de cisalhamento nesse novo ponto Y’ para poder comparar com a tensão admissível fornecida no enunciado. Vamos lá! Começando pela tensão de cisalhamento, através de trigonometria, temos:
Beleza! Vamos deixar essa expressão guardada. Agora, a tensão normal no novo ponto será dada por:
Passo 4
Estamos quase lá! Agora, para usarmos as equações que encontramos no passo 3, falta calcular o valor da área da seção transversal, dessa forma, teremos:
Beleeza! Agora vamos encontrar a máxima força P admissível levando em conta a tensão de cisalhamento, então, teremos:
Isolando P dessa equação e substituindo os valores conhecidos, teremos:
Essa é a máxima força P considerando a tensão de cisalhamento! Agora precisamos verificar a mesma força, só que para a tensão normal, então, da equação encontrada no passo 3, temos:
Isolando P e substituindo os valores conhecidos, temos:
Opa! Esse valor é menor do que o encontrado para a condição de cisalhamento. Então, como precisamos atender as duas condições, pegamos o menor valor de P encontrado. Sendo assim, nossa força P admissível será:
Tá feeito!