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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 97

Uma escora de alumínio 2014 - T 6 está presa entre duas paredes A e B . Se tiver seção transversal quadrada de 50   m m por 50   m m e for submetida ao carregamento de torção mostrado, determine as reações nos apoios fixos. Determine também o ângulo de torção em C .

Passo 1

Olá pessoal! Tudo bem?

Nosso objetivo nessa questão é achar as reações nos apoios fixos A e B . O enunciado informa que a viga tem seção transversal quadrada de 50   m m por 50   m m , ou seja, a = 50   m m . O material é alumínio, então o módulo de elasticidade transversal é G a l = 27 ⋅ 10 9   P a .

Observando a figura do enunciado vamos fazer os cortes nas seções para posteriormente fazer o equilíbrio da viga.

Fazendo o somatório dos momentos, temos:

Na seção B D :

↻ + ∑ M x = 0

T B D = T B

Na seção D C :

↻ + ∑ M x = 0

T D C = T B - 30

Na seção C A :

T C A   +   T B   =   60   +   30

T C A = T B - 90

Observe que T C A = T A .

E como é uma viga engastada nos dois lados, ϕ A / B = 0 . Analisando as seções da viga de A para B , temos que:

ϕ A / B   = ϕ B D + ϕ D C   + ϕ C A

Sendo que o ângulo de torção ϕ para vigas de seção transversal quadrada é calculado através da equação:

ϕ = 7,10 T L a 4 G

OBS: Na tabela do Hibeller essa fórmula está com um erro, falta multiplicar 7,10 T por L .

Passo 2

Através do ângulo de torção ϕ A / B , vamos determinar o torque em B . Usaremos os torques que obtivemos no somatório dos momentos para cada seção, que estão todos em função de T B .

ϕ A / B   = ϕ B D + ϕ D C   + ϕ C A

ϕ A / B   =     7,10 ⋅ T B ⋅ L B D a 4 ⋅ G a l   + 7,10 ⋅ ( T B - 30 ) ⋅ L D C a 4 ⋅ G a l + 7,10 ⋅ ( T B - 90 ) ⋅ L C A a 4 ⋅ G a l

0   =     7,10 ⋅ T B ⋅ 0,6 a 4 ⋅ 27 ⋅ 10 6   + 7,10 ⋅ ( T B - 30 ) ⋅ 0,6 a 4 ⋅ 27 ⋅ 10 6 + 7,10 ⋅ ( T B - 90 ) ⋅ 0,6 a 4 ⋅ 27 ⋅ 10 6

0   =     7,10 ⋅ T B ⋅ 0,6 0,05 4 ⋅ 27 ⋅ 10 6   + 7,10 ⋅ ( T B - 30 ) ⋅ 0,6 0,05 4 ⋅ 27 ⋅ 10 6 + 7,10 ⋅ ( T B - 90 ) ⋅ 0,6 0,05 4 ⋅ 27 ⋅ 10 6

0 = T B + T B - 30 + T B - 90  

3 T B = 120

T B = 40   N ⋅ m

Passo 3

Agora é só substituir na relação que obtivemos no somatório do Passo 1.

T A + T B = 60 + 30  

T A = 60 + 30 - T B  

T A = 50   N ⋅ m

Resposta

T A = 50   N ⋅ m

T B = 40   N ⋅ m

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