Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 43
Resolva o Problema 7.21 usando o círculo de Mohr.
Passo 1
Beleza! Através dos dados que foram dados no enunciado, vamos desenhar o elemento diferencial de tensões para o estado fornecido, escrevendo em função da força P e da área da seção. Com o elemento diferencial, vamos esboçar o círculo de Mohr para o estado de tensões e encontrar um ponto para a rotação , e com o círculo de Mohr e os valores fornecidos para a tensão no plano a-a, podemos encontrar o valor de .
Feito isso, conseguimos encontrar a expressão para a tensão normal nesse ponto, depois disso fica fácil! É só substituir os valores conhecidos na equação da tensão! Bora lá!
Passo 2
Tá legal! Vamos começar desenhando o elemento diferencial para o estado dado, onde só temos tensão em y, então teremos:
Sabemos que a tensão é dada pela força sobre a área, então, para esse elemento diferencial, temos:
Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, dada por:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Agora, vamos escrever as coordenadas dos pontos para o círculo de Mohr, no nosso caso, temos:
Então, com esses pontos, temos o seguinte círculo de Mohr:
Passo 3
Com o círculo de Mohr esboçado, podemos ver que o seu raio será metade da tensão em Y, ou seja:
Agora precisamos rotacionar o elemento diferencial em de um ângulo para podermos encontrar o estado de tensão no plano a-a. Sendo assim, rotacionando o elemento em , ou seja, percorrendo no círculo de Mohr, os novos pontos estarão em:
Então, para uma rotação do elemento, tendo as informações referentes a tensão normal e de cisalhamento, podemos escrever a tangente desse ângulo como:
Passo 4
Agora, sabemos que as coordenadas do ponto Y’ são dadas por:
Então, com os valores dados no enunciado, nosso ponto Y’ será:
Então, podemos substituir esses valores na equação para o ângulo , onde teremos:
Proonto! Esse é o valor de que queríamos para a letra (a).
Passo 5
Agora, para a letra (b), vamos escrever a expressão para a tensão , pois nela teremos a expressão para a tensão aplicada no pilar, que é o que queremos encontrar. Então, do círculo de Mohr do passo 3, podemos escrever essa tensão como:
Opa, pera aí! O termo P/A não é a própria tensão aplicada no pilar?! Então é só isolarmos esse termo e substituirmos os valores conhecidos, chegando em:
Feshoow! Tá aí a tensão compressiva pedida na letra (b).