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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 88

Uma haste delgada é dobrada para formar uma moldura quadrada de lado 6 pol. A moldura é fixada por um colar em A a um eixo vertical que gira com uma velocidade angular constante ω. Determine o valor de ω para o qual a linha AB forma um ângulo β =48° com o eixo x horizontal.

Passo 1

Escolha os eixos principais x’, y’ e z’ com origem no ponto fixo A

I x ' = 2 m 4 1 12 a 2 + 2 m 4 a 2 2 = 1 6 m a 2 l z ' = 2 m 4 1 3 a 2 + m 4 ( a ) 2 = 5 12 m a 2 I y ' = I x ' + I z ' = 7 12 m a 2

Velocidade angular ω = - ω s i n ⁡ β i ' + ω c o s ⁡ β j '

Momento angular sobre A H A = - I x ' ω s i n ⁡ β i ' + I y ' ω c o s ⁡ β j ¨ '

Passo 2

Deixe a referência de Axyz rodar com velocidade angular Ω = ω

H ˙ A = H ˙ A A x y z + Ω × H A = 0 + ω × H A = - ω s i n ⁡ β i ' + ω c o s ⁡ β j ' × - I x ' ω s i n ⁡ β i ' + I y ' ω c o s ⁡ β j ' = - I y - I z ω 2 sin ⁡ β cos ⁡ β k = - 5 12 m a 2 ω 2 sin ⁡ β cos ⁡ β k

Passo 3

Σ M A = - m g a 2 c o s ⁡ β k = H ˙ A

- m g a 2 c o s ⁡ β = - 5 12 m a 2 ω 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β

ω 2 = 6 5 g a s i n ⁡ β = ( 6 ) ( 32.2 ) ( 5 ) ( 0.5 ) s i n ⁡ 48 ∘ = 103.99 ( r a d / s ) 3

ω = 10.20 r a d / s

Resposta

ω = 10.20 r a d / s

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