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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 31

A roseta de deformação a 60 ° está montada sobre uma viga. As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: ∈ a   =   150 × 10 - 6 , ∈ b = 330 × 10 - 6 , ∈ c = 400 × 10 - 6 . Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a essas deformações.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais uma resolução para você ficar craque nessa matéria. Este problema é simples e pequeno, só temos que ter atenção. Primeiramente, temos que saber que as deformações principais são dadas por:

∈ a = ∈ x cos 2 ⁡ ( θ a ) + ∈ y s e n 2 θ a + γ x y s e n θ a cos ⁡ θ a 150 × 10 - 6 = ∈ x cos 2 ⁡ - 30 ° + ∈ y s e n 2 - 30 ° + γ x y s e n - 30 ° cos ⁡ - 30 ° 0,75 ∈ x + 0,25 ∈ y - 0,433013 γ x y = 150 × 10 - 6

∈ b = ∈ x cos 2 ⁡ ( θ b ) + ∈ y s e n 2 θ b + γ x y s e n θ b cos ⁡ θ b - 330 × 10 - 6 = ∈ x cos 2 ⁡ 30 ° + ∈ y s e n 2 30 ° + γ x y s e n 30 ° cos ⁡ 30 ° 0,75 ∈ x + 0,25 ∈ y + 0,433015 γ x y = - 330 × 10 - 6

∈ c = ∈ x cos 2 ⁡ ( θ c ) + ∈ y s e n 2 θ c + γ x y s e n θ c cos ⁡ θ c 400 × 10 - 6 = ∈ x cos 2 ⁡ 9 0 ° + ∈ y s e n 2 9 0 ° + γ x y s e n 9 0 ° cos ⁡ 9 0 ° ∈ y = 400 × 10 - 6

Passo 2

Para encontrarmos as variáveis restantes, precisamos resolver a matriz abaixo:

0,75 0,25 - 0,433013 0,75 0,25 0,433013 0 1 0 ∈ x ∈ y γ x y = 150 × 10 - 6 - 300 × 10 - 6 400 × 10 - 6

Como nosso intuito é treinar o conteúdo, vou adiantar o resultado dessa matriz pra você:

∈ x ∈ y γ x y = - 253,33 × 10 - 6 400 × 10 - 6 - 554,26 × 10 - 6

Passo 3

Agora, temos que encontrar a deformação média, que é dada por:

∈ m é d = ∈ x + ∈ y 2

∈ m é d = - 253,33 - 400 2 × 10 - 6 ∈ m é d = 73,33 × 10 - 6

Este que é o centro do círculo. Já o seu raio R é dado por:

R = ∈ x - ∈ y 2 2 + γ x y 2 2

R = - 253,33 - 400 2 2 + 554,26 2 2

R = 428,38 × 10 - 6

Resposta

σ y = E 1 - v 2 ( v ∈ x + ∈ y )

σ x = E 1 - v 2 ( ∈ x + v ∈ y )

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