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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 134

As seguintes leituras foram obtidas, com uma roseta de deformação colada à superfície de um comonente de máquina:

ε 1 = - 57,5 × 10 - 6   m m / m m

ε 2 = - 57,5 × 10 - 6   m m / m m

ε 4 = + 2 20 × 10 - 6   m m / m m

Pede-se: (a)Qual deveria ser a leitura do extensômetro 3? (b) Determinar a máxima deformação específica de cisalhamento no plano da roseta.

Passo 1

Esse problema nos fornece as deformações por meio da utilização da roseta, então a gente vai ter que achar as deformações através dos valores dados, primeiro vamos calcular os ângulos da roseta:

θ 1 = 0 °

θ 2 = 6 0 °

θ 3 = 90 °

θ 4 = 120 °

A partir daí a gente vai ter que achar as deformações ε x   e   ε y . Vamos fazer isso no segundo passo.

Depois que achamos essas deformações podemos fazer o ciclo de Mohr e a brincadeira já ta no papo, partiu então!

Passo 2

A primeira coisa que a gente deve reparar aqui que vai facilitar muito a resolução é que os extensômetros 1 e 3 representam, respectivamente as deformações ε x e ε y . Beleza, vamos deixar essa informação de lado por um instante e resolver esse problema como se o extensômetro 3 não existisse, dessa forma vamos ter as equações da seguinte forma:

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Daí é só substituir:

Para θ 1 = 0 °

ε 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 0 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 0 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 0 ° ⋅ c o s ⁡ ( 0 ° )

- 57,5 × 10 - 6 = ε x

Para θ 2 = 6 0 °

ε 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 6 0 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 6 0 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 6 0 ° ⋅ c o s ⁡ ( 6 0 ° )

- 57,5 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

Para θ 4 = 120 °

ε 120 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 120 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 120 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( 120 ° )

+ 220 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

Assim, temos o seguinte sistema:

- 57,5 × 10 - 6 = ε x

- 57,5 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

+ 220 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

Passo 3

Vamos resolver esse sistema:

Substituindo ε x nas duas últimas equações:

- 57,5 × 10 - 6 = - 57,5 × 10 - 6 ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433 = 43,125 × 10 - 6

+ 220 × 10 - 6 = - 57,5 × 10 - 6 ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ - 0,433 = 234,375 × 10 - 6

Somando as duas equações:

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433 = 43,125 × 10 - 6

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ - 0,433 = 234,375 × 10 - 6

ε y = 185 × 10 - 6   m m / m m

Subtraindo as mesmas duas equações:

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433 = 43,125 × 10 - 6

ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ - 0,433 = 234,375 × 10 - 6

γ x y = - 220,8 × 10 - 6   m m / m m

Assim temos as nossas deformações:

ε x = - 57,5 × 10 - 6   m m / m m

ε y = 185 × 10 - 6   m m / m m

γ x y = - 220,8 × 10 - 6   m m / m m

Passo 4

Agora a gente vai lembrar do que falamos no começo do passo 2 “que os extensômetros 1 e 3 representam, respectivamente as deformações ε x e ε y ”.

Com isso a gente vai ter que:

ε 3 = ε y = 185 × 10 - 6   m m / m m

Passo 5

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = - 57,5 × 10 - 6 + 185 × 10 - 6   2 = 63,75 × 10 - 6   m m / m m

E

R = - 57,5 × 10 - 6 - 185 × 10 - 6   2 2 + - 220,8 × 10 - 6 2 2

R = 268897225 × 10 - 12

R = 164 × 10 - 6   m m / m m

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 6

A máxima deformação específica de cisalhamento no plano γ m á x   ( n o   p l a n o ) é obtida, também, pelo ciclo de Mohr e é igual ao raio a duas vezes o raio:

1 2 γ m á x ( n o   p l a n o ) = R

γ m á x ( n o   p l a n o ) = 2 R

γ m á x n o   p l a n o = 2 ⋅ 164 × 10 - 6 = 328 × 10 - 6   m m / m m

Resposta

a)

ε 3 = ε y = 185 × 10 - 6   m m / m m

b)

γ m á x n o   p l a n o = 2 ⋅ 164 × 10 - 6 = 328 × 10 - 6   m m / m m

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4. Resolva o Problema 10.3 para um elemento orientado a um ângulo θ = 30 ° em sentido horário.
Devido à carga P, as componentes do estado plano de deformação no ponto do suporte são ϵ x = ( 500 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 350 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 430 × 10 - 6 ) . Use as equações de transformação d
6. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre uma chave são ϵ x = ( 120 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 180 × 10 - 6 ) e γ x y = ( 150 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da deformaçã
7. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem são ϵ x = ( 850 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 480 × 10 - 6 ) e γ x y = ( 650 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação da
As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem são ϵ x = ( 520 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( - 760 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 750 × 10 - 6 ). Use as equações de transformação d