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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 127

Sabendo que no instante mostrado a barra AB tem aceleração angular nula e velocidade angular de 15   r a d / s no sentido anti-horário, determine (a) a aceleração angular do braço D E , (b) a aceleração do ponto D

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) a aceleração angular do membro D E , (b) a aceleração do Ponto D .

Pois muito bem! Comecemos fazendo um esboço pra entender melhor o que está acontecendo...

Temos aí um esquemático de como as barras estão dispostas na nossa figura do enunciado, onde C é o centro de rotação instantâneo da barra B D ...

tan ⁡ β = 3 4 = 36.87 ∘  

A B = 4 c o s c o s   β   = 5   i n  

D E = 4 c o s c o s   β   = 5 i n  

v B = ( A B ) ω A B = ( 5 ) ( 15 )   = 75 i n / s

v B = v B   β s                   v D = v D β

Passo 2

Como C é o centro instantâneo da barra B D , olhando a figura que desenhamos e a do enunciado, temos que...

v B = ω B D ( C B )

Onde ω B D é a velocidade angular da barra B D ! Vamos então, obter C B !

C B = 5 c o s   β   = 6 , 25   i n

Com isso, podemos obter a velocidade angular ω B D !

  ω B D = v B C B = 75 6.25 = 12   r a d / s

Em seguida, temos também que...

v D = ( C D ) ω B D

Onde C D vai ser igual à...

C D = 5 c o s   β   = 6 , 25   i n

Logo;

  v D = C D ω B D = 6,25 12 = 75   i n / s

Obtido v D , podemos descobrir a velocidade angular da barra D E , dada por...

  ω D E = v D D E = 75 5 = 15 r a d / s   ⤾

Passo 3

Agora vamos fazer a análise da aceleração. A aceleração angular da barra A B é nula...

α A B = 0

Baseando nisso, vamos obter a aceleração em B , que é dada por:

a B = A B α A B   ⦬ β + A B ω A B 2 ⦩ β

a B = ( 5 ) ( 15 ) 2   ⦩ β

a B = 1125 i n s 2   ⦩ β

Já a aceleração de B em relação à D , será dada por...

a D / B = B D α B D ↑ + B D ω B D 2 ←

a D / B = 10 α B D ↑ + 10 ⋅ 12 2 ←

a D / B = 10 α B D ↑ + 1440   i n / s 2 ←

Por fim, falta obter a aceleração de D ...

a D = D E α D E   ⦮ β + [ D E ω D E 2   ⦨ β ]

a D = 5 α D E   ⦮ β + [ 5 ⋅ 15 2   ⦨ β ]

a D = 5 α D E   ⦮ β + [ 1125   i n / s 2   ⦨ β ]

Pronto! Agora somos capazes de trabalhar na relação abaixo

a D = a B + a D / B

E é só resolver nos componentes!

Passo 4

(a) Para esse primeiro item, temos que...

→ + 5 α D E s i n ⁡ β + 1125 c o s ⁡ β = - 1125 c o s ⁡ β - 1440

α D E = - 1080 r a d / s 2

(b) E com isso, podemos obter a aceleração em D , dada por...

a D = 5 ( - 1080   r a d / s 2 )   ⦮ β + [ 1125   i n / s 2   ⦨ β ]

a D = 5 ( - 1080   r a d / s 2 )   ⦮ β + [ 1125   i n / s 2   ⦨ β ]

a D = 5400   i n / s 2   ⦭ β + [ 1125   i n / s 2   ⦨ β ]

Tirando o módulo...

a D = 5400 2 + 1125 2   i n / s 2

a D = 5516   i n / s 2

a D = 460   f t / s 2

E depois, o ângulo de orientação...

γ = tan - 1 ⁡ 1125 5400

γ = 11,77 °

Temos que...

a D = 460   f t / s 2   ⦩ ( 90 ° - β - γ )

a D = 460   f t / s 2   ⦩   64,9 °

Resposta

a)

α D E = - 1080   r a d / s 2 ⤾

b

a D = 460   f t / s 2   ⦩   64,9 °

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