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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 37

Sabendo-se que uma força cortante vertical V causa uma tensão de cisalhamento máxima τ = 75   M P a em uma viga extrudada com a seção transversal mostrada, determinar a correspondente tensão de cisalhamento nos três pontos indicados.

Passo 1

Precisamos primeiro determinar o valor do cortante que age na seção, já que sabemos a tensão máxima aplicada nela, sabemos que a fórmula é dada por:

τ = V Q I b

Em que:

V = c o r t a n t e   a g i n d o   n a   s e ç ã o  

Q = m o m e n t o   e s t á t i c o  

I = m o m e n t o   d e   i n é r c i a  

b = e s p e s s u r a   d a   r e g i ã o   q u e   d e s e j a   s e   s a b e r   a   t e n s ã o  

Para esses dados sabemos que para a tensão cisalhante máxima se dá no ponto B, porque ele está mais abaixo e tem uma espessura menor que a que tem na região simétrica, sendo assim teremos que:

τ = 75 M P a

b = 20   m m

Agora precisamos determinar o momento estático e o momento de inércia, para isso temos um passo a passo.

Passo 2

Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.

  • Primeiro determinamos uma divisão em seções mais simples

  • Em segundo determinamos as áreas da nossa seção

  • Em terceiro determinamos a distância dos centroides dos elementos até a LN, e como a seção é simétrica, está no centro da seção total, sendo assim teremos que:

  • Em quarto precisamos determinar os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples:

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = 4 ( I 1 + A 1 d 1 2 ) + 4 I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 4 4167 + 5 0 0   .     7 5 2 + 4 106667 + 80 0   .     5 0 2 + 2160000 + 7 200   .     0 2 = 21853336

    I = 21853336   m m 4

    Passo 3

    Para o momento estático precisamos determinar os seguintes dados:

  1. O Ponto B que sabemos ter a tensão máxima agindo na seção
  2. Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  3. Distância do centroide da área até a LN

    4. agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1 + A 2 y 2   = 5 0 0 7 5 + 80 0 5 0 = 77500   m m 3

  4. Tensão Máxima

    5. τ = V Q I b = V   .     77500   21853336     .   20

    V   .     77500   21853336     .   20 = 75

    V = 422968   N = 423   k N

    Como já temos o cortante, só precisamos calcular o momento estático e o valor de b para cada um dos pontos.

    Passo 4

    Para o momento estático precisamos determinar os seguintes dados:

  5. Ponto C
  6. Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  7. Distância do centroide da área até a LN

    8. agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 y 1   = 300 75 = 22500   m m 3

    b = 10 m m

  8. Tensão em C

    9. τ = V Q I b = 423 000     .     22500 21853336     .   10 = 43,5   M P a

  9. Ponto A
  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento

  • Distância do centroide da área até a LN

    • agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = 2 A 1 y 1 + 2 A 2 y 2 + A 3 y 3 = 2   .   500   .     75 + 2   .   800   .     50 + 3600   .     15 = 209000   m m 3

    b = 12 0 m m

  • Tensão em a

    • τ = V Q I b = 423000     .     209000 21853336     .   1 2 0 = 33,7   M P a

    Resposta

    τ A = 33,7   M P a

    τ B = 75,0   M P a

    τ C = 43,5   M P a

    Ver Outros Exercícios desse livro

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    Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura da parede uniforme de 6m m , determinar a tensão de cisalhamento em cada um dos três pontos indicados.
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    A barra AB é conectada, através de juntas esféricas, ao colar A ao disco de raio 90 mm. O disco é soldado ao tubo DE, que tem um diâmetro externo de 80 mm e uma espessura igual a 6 mm. Sabendo-se que
    Para o sistema do Prob 5.70 determinar as tensões, normal e de cisalhamento, no ponto K.