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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 136

Um satélite de comunicações está em uma órbita circular acima da Terra de tal maneira que ele sempre permanece diretamente sobre um ponto da superfície terrestre. Como resultado, o período do satélite tem se ser igual à rotação da Terra, que é de aproximadamente 24 horas. Determine a altitude do satélite h acima da superfície da Terra e sua velocidade escalar orbital.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

Satélite em órbita circular;

Período T = 24   h .

Devemos determinar a altitude h em que o satélite se encontrar em relação a superfície da Terra e a sua velocidade orbital.

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

O raio r 0 da órbita será igual a

r 0 = h + r T

Como a rota é circular, o período T é igual a

T = 2 π r 0 v

Onde v é a velocidade do satélite.

Portanto,

T = 2 π ( h + r T ) v

e

v = 2 π ( h + r T ) T = 2 π h + 40,07 10 6 86400

Além disso, sabemos que em uma órbita circular, a velocidade é definida por

v = G M e r 0

Logo,

v = G M e ( h + r T ) = 2 π ( h + r T ) T

Passo 3

Agora vamos colocar h em evidência e em seguida substituir os valores conhecidos de G ,   M e , r T e T na relação do passo anterior:

G M e ( h + r T ) = 2 π ( h + r T ) T

G M e ( h + r T ) = 2 π h + r T T 2

G M e T 2 4 π 2 = ( h + r T ) h + r T 2

h + r T h 2 + 2 h r T + r T 2 = G M e T 2 4 π 2 = 7,54 10 22

h 3 + 3 h 2 r T + 3 h r T 2 + r T 3 = 7,54 10 22

h 3 + 19134 ( 10 3 ) h 2 + 1,22 ( 10 14 ) h + 2,59 10 20 = 7,54 10 22

Esta equação de 3o grau só possui uma raíz real igual a

h = 35868718 = 35,87   10 6   m

Passo 4

Substituindo o valor de h em v , encontramos

v = 2 π ( h + r T ) T = 2 π ( 35,87 ) 10 6 + 40,07 10 6 86400

v = 3072,3   m / s

v = 3 , 07   k m / s

Resposta

h = 35,87   10 6   m

v = 3,07   k m / s

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