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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 115

Resolva o Problema 13.114 se o braço tem aceleração angular de θ ¨ = 2   r a d / s 2 quando θ ˙ = 3   r a d / s a θ = 30 ° .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da bola: m = 1 kg

Velocidade angular: θ ˙ = 3 rad/s

Aceleração angular: θ ¨ = 2   r a d / s 2

A questão pede para determinarmos a força do braço sobre a bola e a força normal da ranhura sobre a bola quando θ = 30 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde N é a força normal, F O A é a força exercida pela barra e W = m g é a força peso.

Passo 2

Da figura fornecida, vemos que r pode ser relacionada a θ pela equação

cos ⁡ θ = 0,5 r

r = 0,5 cos ⁡ θ

Portanto, as derivadas temporais em r são:

r ˙ = d r d t = 0,5 θ ˙ sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 0,5 θ ˙ tan ⁡ θ sec ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = 0,5 [ θ ˙ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + sec 3 ⁡ θ + tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ θ ˙ 2 ]   m / s 2

Para θ = 30 ° :

θ ˙ = 3   r a d / s

θ ¨ = 2   r a d / s 2

r = 0,5774   m

r ˙ = 1   m / s

r ¨ = 9,327   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = 9,33 - 0,5774 3 2 = 4,131   m / s 2

a θ = 0,5774 2 + 2 1 3 = 7,155   m / s 2

Passo 4

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ 30 ° - W sen ⁡ 30 ° = m a r

N c o s   30 ° = 1 4,131   + 1 9,81 sen ⁡ 30 °

N = 10,43   N

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F O A - N sen ⁡ 30 ° - W cos ⁡ 30 ° = m a θ

F = 1 7,155 + 10,43 sen ⁡ 30 ° + 1 9,81 cos ⁡ 30 °

F = 20,9   N

Resposta

N = 10,4   N

F = 20,9   N

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