Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 130
Se o foguete deve pousar na superfície do planeta, determine a velocidade escalar de voo livre necessária que ele dever ter em de maneira que ele atinja o planeta em . Quanto tempo leva para o foguete pousar, indo de para ao longo de uma trajetória elíptica? O planeta não tem atmosfera, e sua massa é de 0,70 vezes a da Terra.
Passo 1
O enunciado nos diz que:
A massa do planeta é de e seu raio é de .
Além disso, analisando a imagem, podemos ver que se trata de uma órbita elíptica.
O foguete está em uma órbita elíptica inicial e quando chega em deve entrar em uma segunda órbita elíptica com ponto final em .
Devemos definir a velocidade vetorial do foguete no ponto para que ele pouse em e o tempo necessário para este movimento.
Suponha que o raio da Terra é 6378 km;
A massa da Terra é de 5,976(1024) kg;
A massa do Sol é de ,99(1030) kg;
A constante gravitacional é de .
Raio da Terra:
Passo 2
Analisando somente a segunda rota elíptica, que é do nosso interesse, vemos que o raio do perigeu () e do apogeu () da órbita são dados por
Além disso, sabemos que , logo
Com estes dados, podemos utilizar a fórmula que relaciona o raio de apogeu e do perigeu com a velocidade vetorial do perigeu para encontrar a velocidade no ponto .
Colocando em evidência, temos
Passo 3
A constante é dada por
logo,
Passo 4
Agora que já sabemos a velocidade, vamos encontrar o período para obtermos o tempo que o foguete leva para pousar no ponto .
Sabemos que
E
Logo,
O período representa o período de tempo necessário para fazer uma revolução orbital. Ao analisar a imagem, vemos que o trajetória elíptica é metade de uma revolução, portanto