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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 132

O satélite está em uma órbita elíptica tendo uma excentricidade de e = 0,15 . Se a sua velocidade no perigeu é v P = 15   M m / h , determine a sua velocidade no apogeu A e o período do satélite.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Velocidade do satélite no ponto P : v P = 15   M m / h ;

Órbita elíptica com excentricidade e = 0,15 .

Devemos determinar a velocidade do satélite no ponto A e o seu período.

A velocidade em metros por segundo no ponto P   é igual a

v P = 15 10 6 m h 1     h 3600     s = 4166,67   m / s

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

Sabemos que a excentricidade dada pe Equação 13.18 é igual a

e = C h 2 G M e

Onde as constantes C e h são dadas por

h = r 0 v 0

C = 1 r 0 1 - G M e r 0 v 0 2

Logo, para o ponto P ,

h = r P v 0 = 4166,67   r P

C = 1 r P 1 - G M e r P 4166,67 2

Substituindo os valores de e = 0,15 , C e h na equação da excentricidade, obtemos

e = C h 2 G M e = 1 r P 1 - G M e r P 4166,67 2 4166,67   r P 2 G M e = 0,15  

1 - G M e r P 4166,67 2 17,36 10 6 r P G M e = 0,15

17,36 10 6 r P G M e - 1 = 0,15

r P = 0,15 + 1 G M e 17,36 10 6

r P = 26,415 10 6   m

Passo 3

Em uma órbita elíptica, sabemos que o apogeu é dado pela Equação 13.27

r a = r P 2 G M e r 0 v 0 2 - 1

Logo, no ponto A , temos que

r a = r A = 26,415 10 6 2 ( 66,73 ) 10 - 12 ( 5,976 ) ( 1024 ) 26,415 10 6 4166,67 2 - 1

r A = 35,739 10 6   m

Sabemos que a constante h = r P v P = r A v A = 1,10 10 11 . Logo, podemos descobrir o valor da velocidade no ponto A :

h = r P v P = r A v A

v A = r P v P r A = 26,415 10 6 4166,67 35,739 10 6

v A = 3079,71   m / s

v A = 3,08   k m / s

Passo 4

Agora vamos determinar o período do satélite.

O período é dado pela Equação 13.31:

T = π h r P + r a r P r a

Substituindo os valores obtidos anteriormente na equação acima, obtemos

T = π 1,10 10 11 26,415 10 6 + 35,739 10 6 ( 26,415 ) 10 6 ( 35,739 ) 10 6

T = 54540,2   s

T = 15,1   h

Resposta

v A = 3,08   k m / s

T = 15,1   h

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