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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 124

Um satélite de comunicações será colocado na órbita circular equatorial em torno da Terra de maneira que ele sempre permaneça diretamente sobre um ponto na superfície terrestre. Se isto exige que o período seja de 24 horas (aproximadamente), determine o raio da órbita e a velocidade vetorial do satélite.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

O satélite está em uma óbita circular em torno da Terra;

Período: T = 24   h = 86400   s .

Devemos determinar o raio da órbita e a velocidade vetorial do satélite.

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Lembre-se sempre de utilizar as unidades do SI.

Passo 2

Em uma órbita circular, sabemos que

v 2 = G M e r

Onde v é a velocidade escalar que manterá o satélite em sua órbita e r representa o raio da órbita.

Sabemos que a velocidade de um corpo é dada pela variação de espaço no tempo, logo

v = ∆ S ∆ t

Como a trajetória é circular, ∆ S = 2 π r e ∆ t = T . Logo,

v = 2 π r T

Vamos substituir este valor em

v 2 = G M e r

Obtendo,

2 π r T 2 = G M e r

Devemos colocar r em evidência:

r 3 = G M e T 2 4 π 2 = 66,73 10 - 12 5,976 10 24 86400 2 4 π 2

r 3 = 7,54   10 22

r = 42,25 10 6   m

Passo 3

Para encontrar a velocidade do satélite na órbita, vamos substituir o valor encontrado para r na seguinte equação

v = 2 π r T = 2 π 42,45 10 6 86400

v = 3072,32   m / s

Resposta

r = 42,25   M m

v = 3 , 07   k m / s

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