Um satélite de comunicações será colocado na órbita circular equatorial em torno da Terra de maneira que ele sempre permaneça diretamente sobre um ponto na superfície terrestre. Se isto exige que o período seja de 24 horas (aproximadamente), determine o raio da órbita e a velocidade vetorial do satélite.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

O satélite está em uma óbita circular em torno da Terra;

Período: T = 24   h = 86400   s .

Devemos determinar o raio da órbita e a velocidade vetorial do satélite.

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Lembre-se sempre de utilizar as unidades do SI.

Passo 2

Em uma órbita circular, sabemos que

v 2 = G M e r

Onde v é a velocidade escalar que manterá o satélite em sua órbita e r representa o raio da órbita.

Sabemos que a velocidade de um corpo é dada pela variação de espaço no tempo, logo

v = ∆ S ∆ t

Como a trajetória é circular, ∆ S = 2 π r e ∆ t = T . Logo,

v = 2 π r T

Vamos substituir este valor em

v 2 = G M e r

Obtendo,

2 π r T 2 = G M e r

Devemos colocar r em evidência:

r 3 = G M e T 2 4 π 2 = 66,73 10 - 12 5,976 10 24 86400 2 4 π 2

r 3 = 7,54   10 22

r = 42,25 10 6   m

Passo 3

Para encontrar a velocidade do satélite na órbita, vamos substituir o valor encontrado para r na seguinte equação

v = 2 π r T = 2 π 42,45 10 6 86400

v = 3072,32   m / s

Resposta

r = 42,25   M m

v = 3 , 07   k m / s

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