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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 80

Satélites de comunicação são colocados em uma órbita geossíncrona, isto é, em uma órbita circular tal que eles realizam uma volta completa em torno da Terra em um dia sideral (23,934 horas) e, então, aparentam estar estacionários em relação ao solo. Determine (a) a altitude desses satélites acima da superfície da Terra, (b) a velocidade com que eles descrevem suas órbitas.

Passo 1

Para a força gravitacional e uma órbita circular,

F r = G M m r 2 = m v 2 r     ou     v = G M r

Seja τ o período de tempo para completar uma órbita.

Mas

v τ = 2 π r     ou     v 2 τ 2 = G M τ 2 r = 4 π 2 r 2

Então

r 3 = G M τ 2 4 π 2     ou         r = G M τ 2 4 π 2

Dados:

τ = 23.934     h = 86.1624 × 10 3  s

Passo 2

  1. Em unidades SI:

    2. g = 9.81   m / s 2 ,   R = 6.37 × 10 6   m

    G M = g R 2 = 9.81 ( 6.37 × 10 6 ) 2 = 398.06 × 10 12 m 3 / s 2

    r = 398.06 × 10 12 ( 86.1624 × 10 3 ) 2 4 π 2 = 42.145 × 10 6  m

    altitude       h = r - R = 35.775 × 10 6   m

    Em unidades dos EUA:

    g = 32,2   ft /s 2 ,       R = 3960   mi = 20.909 × 10 6  ft

    G M = g R 2 = 32.2 ( 20.909 × 10 6 ) 2 = 14.077 × 10 15   ft 3 / s 2

    r = 14.077 × 10 15 ( 86.1624 × 10 3 ) 2 4 π 2 1 / 3 = 138.334 × 10 6  ft

    altitude       h = r - R = 117.425 × 10 6   ft

    Passo 3

  2. Em unidades SI:

v = G M r = 398.06 × 10 12 42.145 × 10 6 = 3.07 × 10 3   m/s

Em unidades dos EUA:

v = G M r = 14.077 × 10 15 138.334 × 10 6 = 10.09 × 10 3   ft/s

Resposta

a) Em unidades SI     h = 35,800   km

Em unidades dos EUA     h = 22,200   mi

b) Em unidades SI     v = 3.07   km/s

Em unidades dos EUA     v = 10,09 × 10 3   ft/s

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