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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 142

O semicilindro maciço homogêneo é liberado a partir do repouso na posição indicada. Se o atrito é suficiente para evitar o deslizamento, determine a velocidade angular máxima ω atingida pelo cilindro quando rola sobre a superfície horizontal.

Passo 1

Pela figura,

r = r - + d

∴ d = r - r -

Pelo Teorema dos Eixos Paralelos, temos

I c =   I - + m d 2

Se aplicarmos novamente o Teorema dos Eixos paralelos,

I o =   I - + m r - 2  

Assim, ficamos com

I c =   I o - m r - 2 + m ( r - r - ) 2

I c = 1 2 m r 2 - m r - 2 + m ( r 2 - 2 r r - + r - 2 )

I c = 3 2 m r 2 - 2 m ( r r - )

I c = 3 2 m r 2 - 2 m r 4 r 3 π

Então

I c = m r ² 3 2 + 8 3 π

Passo 2

A variação da energia cinética é dada por

∆ T = 1 2 I c ω 2 - 0

Substituindo o valor obtido para I c :

∆ T = 1 2 m r ² 3 2 + 8 3 π ω 2

Passo 3

A variação da energia potencial é dada por

∆ V =   ∆ V g + ∆ V e

Mas ∆ V e = 0 , assim

∆ V = ∆ V g =   m g [ - r - - r - c o s θ ]

∆ V g = - 4 r 3 π m g 1 - c o s θ

Passo 4

Sabemos que U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V g + ∆ V e

Substituindo então os valores obtidos, achamos

0 = 1 2 m r ² 3 2 + 8 3 π ω 2 - 4 r 3 π m g 1 - c o s θ

Isolando ω , achamos

ω = 4 .   g 1 - c o s θ r 9 π - 16 2

Resposta

ω = 4 .   g 1 - c o s θ r 9 π - 16 2

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