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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 110

Uma sonda espacial em uma órbita baixa da Terra é inserida em uma órbita de transferência elíptica para o planeta Vênus. Sabendo que a massa do sol é 332,8 x 10³ vezes a massa da terra e assumindo que a sonda está sujeita apenas à atração gravitacional do sol, determine o valor de ϕ , que define a posição relativa de Vênus em relação à Terra no momento em que a sonda é inserida na órbita de transferência.

Passo 1

Primeiro determine o tempo t s o n d a   para viajar da Terra para Vênus:

t p r o b e   = 1 2 τ t r

onde τ t r é o tempo periódico da órbita de transferência elíptica. Aplicando a Terceira Lei de Kepler as órbitas ao redor do Sol da Terra e da sonda, obtemos

τ t r 2 τ e a r t l   2 = a f r 3 a e a r t h   3

Em que: a t r = 1 2 r E + r p   = 1 2 93 × 10 6 + 67.2 × 10 6 m i   = 80.1 × 10 6 m i  

E a e a r t h   ≈ r R   ( N o t a :   ε e a r t h   = 0.0167 )

Então t p r o b e   = 1 2 a t r r E 3 / 2 τ e a r t h  

= 1 2 80.1 × 10 6 m i 93.0 × 10 6 m i 3 / 2 ( 365.25   d a y s   )   = 145.977   d i a s     = 12.6124 × 10 6 s  

Passo 2

No tempo t p r o b e   , Venus viaja pelo ângulo θ v , dado por:

θ v = θ ˙ v t p r o h e   = v v r v   p r o b e

Passo 3

Assumindo que a órbita de Vênus é circular (nota: ε v e n u s   = 0.0068 ) , então, para uma órbita circular:

v v = G M s u n r v                     [ E q ⋅ ( 12,44 ) ]

Agora: G M s u n = G 332.8 × 10 3 M e a r t h     = 332.8 × 10 3 g R e a r t h   2                             u s a n d o   E q   12.30    

Então: θ ν = t p r o b e   r v 332.8 × 10 3 g R e a r t h   2 r v 1 / 2

= t p r o b e   R e a r t h   332.8 g × 10 3 1 / 2 r v 3 / 2

Em que: R e a r h   = 3960 m i = 20.9088 × 10 6 f t

E r v = 67.2 × 10 6 m i = 354.816 × 10 9 f t

Então: θ v = 12.6124 × 10 6 s 20.9088 × 10 6 f t 332.8 × 10 3 × 32.2 f t / s 2 1 / 2 354.816 × 10 9 f t 1 / 2

= 4.0845 r a d   = 234.02 ∘  

Finalmente ϕ = θ v - 180 ∘ = 234.02 ∘ - 1.80 ∘

φ = 54.0 ∘

Resposta

φ = 54.0 ∘

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