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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 107

Para a sonda espacial do Problema 12.106, sabe-se que r A = 9,3 x10³ mi e que a velocidade da sonda é reduzida para 20.000 ft/s, conforme ela passa por A. Determine (a) a distância do centro de Vênus ao ponto B, (b) os valores pelos quais a velocidade da sonda deve ser reduzida em B e C, respectivamente.

Passo 1

Dados do problema 12. 108:

r C = 9000 k m ,         M = 0.82 M e a r t h  

Para Terra:

R = 3960 m i = 20.9088 × 10 6 f t ,       g = 32.2 f t / s 2

G M c a t h   = g R 2 = ( 32.2 ) 20.9088 × 10 6 2 = 14.077 × 10 15 m 3 / s 2

Para Vênus:

G M = 0.82 G M e a t l   = 11.543 × 10 15 f t 3 / s 2

Órbita de transferência AB:

v A = 20,000 f t s ,     r A = 9.3 × 10 3 m i = 49.104 × 10 6 f t

h A B = r A v A 49.104 × 10 6 ( 20,000 ) = 982.08 × 10 9 f t 2 / s

No ponto A, onde θ = 180 ∘ :

1 r A = G M h A B 2 + C c o s ⁡ 180 ∘ = G M h A B 2 - C

No ponto B, onde θ = 0 ∘ :

1 r B = G M h A B 2 + C c o s ⁡ 0 = G M h A B 2 + C

Adicionando: 1 r A + 1 r B = 2 G M h A B 2

1 r B = 2 G M h A B 2 - 1 r A

= ( 2 ) 11.543 × 10 15 982.08 × 10 9 2 - 1 49.104 × 10 6

= 3.57125 × 10 - 9 f t - 1

r B = 53 × 10 3 m i

Passo 2

(a) Coordenada radial   r B :

r B = 280.01 × 10 6 f t

v B 1 = h A B r B = 982.08 × 10 9 280.01 × 10 6 = 3.5073 × 10 3 f t / s

Segunda órbita de transferência BC:

r C = 5600 m i = 29.568 × 10 6 f t

No ponto B, onde θ = 0 ∘ :

1 r B = G M h B C 2 + C c o s ⁡ 0 = G M h B C 2 + C

No ponto C, onde θ = 180 ∘ :

1 r C = G M h B C 2 + C c o s ⁡ 180 ∘ = G M h B C 2 - C

Adicionando: 1 r B + 1 r C = r B + r C r B r C = 2 G M h B C 2

h B C = 2 G M r B r C r B + r C = ( 2 ) 11.543 × 10 15 280.01 × 10 6 29.568 × 10 6 309.578 × 10 6

= 785.755 × 10 9 f t 2 / s

v B 2 = r B C r B = 785.755 × 10 9 280.01 × 10 6 = 2.8062 × 10 3 f t / s

v C 1 = r B C r C = 785.755 × 10 9 29.568 × 10 6 = 26.575 × 10 3 f t / s

Órbita circular com:

r C = 29.568 × 10 6 f t

v C 2 = G M r C = 11.543 × 10 15 29.568 × 10 6 = 19.758 × 10 3 f t / s

Passo 3

(b) Redução de velocidade de B e C:

Em B: v B k - v B 2 = 3.5073 × 10 3 - 2.8062 × 10 3

Δ v B = 701 f t / s

Em C: v C 1 - v C 2 = 26.575 × 10 3 - 19.758 × 10 3

Δ v C = 6.82 × 10 3 f t / s

Resposta

(a)   19.758 × 10 3 f t / s

(b) Δ v B = 701 f t / s

Δ v C = 6.82 × 10 3 f t / s

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