Enunciado

Suponha que seja possível cavar um túnel liso por baixo da terra de uma cidade em A para uma cidade em B, como mostrado. Pela teoria da gravitação, qualquer veículo C de massa m colocado dentro estaria sujeito a uma força gravitacional que é sempre direcionada para o centro da Terra D. Esta força F tem uma intensidade que é diretamente proporcional à sua distância r do centro da Terra. Por conseguinte, se o veículo tem peso W = mg quando ele está localizado na superfície da Terra, então em uma posição arbitrária r a intensidade da força F é F = (mg/R)r, onde R = 6328 km, o raio da Terra. Se o veículo parte do repouso quando está em B, x = s = 2 Mm, determine o tempo necessário para ele chegar a A, e a velocidade máxima que ele alcança. Despreze o efeito da rotação da Terra no cálculo e suponha que a Terra tenha uma densidade constante. Dica: escreva a equação do movimento na direção x, observando que r c o s θ = x . Integre, utilizando a relação cinemática vdv = adx, em seguida, integre o resultado utilizando v = dx/dt.

Passo 1

Começaremos o exercício esquematizando o diagrama de corpo livre do sistema:

Agora iremos aplicar a equação do movimento:

↖ + ∑ F x ' = m a x '

- m g R r c o s θ = m a

a = - g R r c o s θ → a = - g R x

Agora iremos aplicar a relação fornecida no enunciado v d v = a d x :

↖ +   ∫ 0 v v d v = - g R ∫ s x x d x

v 2 2 = g 2 R ( s 2 - x 2 )

v = - g R ( s 2 - x 2 )

Essa será nossa equação 1.

Passo 2

Agora iremos aplicar a equação d t = d x / v

↖ +   ∫ 0 t d t = - R g ∫ s x d x s 2 - x 2

t = R g π 2 - s e n - 1 x s

No instante x = -s:

t = R g π 2 - s e n - 1 - s s = π R g

Essa será nossa equação 2.

Passo 3

Substituindo o valor do raio da terra e da aceleração da gravidade na equação 2:

t = π 6328 10 3 9,81 → t = 2523,2   s

Agora, sabemos que a velocidade máxima ocorre para x = 0, então, da equação 1:

v = - g R s 2 - 0 2 = - g R s

Substituindo os valor nessa última expressão:

v = - 9,81 6328 10 3 2 10 6 → v m a x = - 2490,2   m / s

Resposta

t = 2523,2   s

v m a x = - 2490,2   m / s

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