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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 94

Suponto que a pressão entre as superfícies de contato seja uniforme, mostre que a intensidade M do binário necessário para se vencer a resistência de atrito para o mancal cônico mostrado é:

M = 2 3 ⋅ μ k P sin ⁡ θ ⋅ R 2 3 - R 1 3 R 2 2 - R 1 2

Passo 1

Bom galera, começamos já sabendo que:

Δ N Δ A = k r

Então:

Δ N = k Δ A

→ Δ A = r Δ s Δ ϕ

→ Δ s = Δ r sin ⁡ θ

Passo 2

Show de bola, a força normal P é dada por:

P = lim Δ A → 0 ⁡ ∑ F y

→ P = ∫ 0 2 π ∫ R 1 R 2 k r d r d ϕ

→ P = 2 π k ∫ R 1 R 2 r d r

Logo podemos ter:

k = P π ( R 2 2 - R 1 2 )

Passo 3

Então, a força de fricção é:

Δ F = μ Δ N = μ k Δ A

E assim o momento fica:

Δ M = r Δ F = r μ k r Δ r sin ⁡ θ

O total fica:

M = lim ΔA → 0 ⁡ ∑ Δ M

→ M = ∫ 0 2 π ∫ R 1 R 2 μ k sin ⁡ θ r 2 d r d ϕ

→ M = 2 π μ k sin ⁡ θ ∫ R 1 R 2 r 2 d r

→ M = 2 π μ P 3 sin ⁡ θ π R 2 2 - R 3 2 ( R 2 3 - R 3 3 )

Assim, chegamos á:

→ M = 2 π μ P ( R 2 3 - R 3 3 ) 3 sin ⁡ θ π ( R 2 2 - R 3 2 )

Resposta

M = 2 π μ P ( R 2 3 - R 3 3 ) 3 sin ⁡ θ π ( R 2 2 - R 3 2 )

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