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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 87

Um suporte isolado de vibrações consiste em uma barra A de raio R 1 = 10   m m e um tupo B de raio interno R 2 = 25   m m ,   colado a um tubo de borracha de 80 mm de comprimento com um módulo de elasticidade transversal G = 12   M P a .   Determine a maior força P admissível que pode ser aplicada à barra A, sabendo que seu deslocamento não deve exceder 2,5   m m .

Passo 1

Para essa questão teremos nosso r variando entre R 1   e   R 2

R 1 ≤ r ≤ R 2

τ vai ser dado por

τ = P A = P 2 π r h

Onde

Passo 2

Vamos ter ainda que

t g γ ≈ γ = τ G

Substituindo a relação anterior

γ = P 2 π G h r

A deformação será dada por

d δ d r = γ

Onde

Com isso temos

d δ = γ d r

d δ = P 2 π G h r d r

Passo 3

Aplicando a integral dos dois lados temos que a deformação total será dada por

δ = ∫ R 1 R 2 d δ = P 2 π G h r ∫ R 1 R 2 1 r   d r

P 2 π G h r ln ⁡ r | R 2 R 1 = P 2 π G h r l n R 2 - l n R 1

δ = P 2 π G h r ln ⁡ R 2 R 1

Passo 4

Dados que

R 1 = 10   m m = 0,01   m

R 2 = 25   m m = 0,025   m

h = 80   m m = 0,08   m m

G = 12 × 10 6   P a

δ = 2,5 × 10 - 3   m

Vamos simplesmente reescrever esses valores na fórmulinha que desenvolvemos e encontrar o valor de P. mas antes, pra manter uma organização, vamos isolar o P.

δ = P 2 π G h r ln ⁡ R 2 R 1

P = 2 π G h δ ln ⁡ R 2 R 1

Substituindo então os valores na fórmula

P = 2 π 12 × 10 6 0,08 2,5 × 10 - 3 ln ⁡ 0,025 0,01 = 16,46   k N

Resposta

P = 16,46   k N

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