Enunciado

Um quadrado de 20 m m de lado é desenhado na parede de um vaso de pressão de aço de grandes dimensões. Depois de pressurizado o estado biaxial de tensões no quadrado é como o mostrado. Usando a tabela do apêndice B, para o aço estrutural, determinar a variação do comprimento:

  1. Do lado AB;
  2. Do lado BC;
  3. Da diagonal AB.

Passo 1

A questão nos pede algumas informações, como por exemplo a deformação longitudinal de AB, de BC e da diagonal BD, e para isso o nosso enunciado nos dá os seguintes dados.

L A B = L B C = 20   m m

L B D = 20 2 + 20 2 = 20 2

σ x = 160   M P a

σ y = 80   M P a

E = 200   G P a = 200000   M P a

G = 77,2   G P a

G = E 2 ( 1 + ϑ )

Assim o coeficiente de Poisson será dado por:

ϑ = 0,30

Usando a lei de Hooke generalizada, teremos a seguinte a fórmula:

ε x = σ x E - ϑ σ y E

ε y = σ y E - ϑ σ x E

Agora olhando cada um de cada vez teremos que:

  1. Deformação na direção AB (direção x)
  2. ε x = σ x E - ϑ σ y E

    ε x = 160 200000 - 0,3   .     80 200000 = 6,8   .   10 - 4

    Sabemos que:

    ε x = δ x L

    δ x = ε x   .   L

    Substituindo teremos que:

    δ x = ε x   .   L

    δ x = 6,8   .   10 - 4   .   20 = 0,0136   m m = 13,6   μ m

  3. Deformação na direção BC (direção y)
  4. ε y = σ y E - ϑ σ x E

    ε y = 80 200000 - 0,3   .     160 200000 = 1,6   .   10 - 4

    Sabemos que:

    ε y = δ y L

    δ y = ε y   .   L

    Substituindo teremos que:

    δ y = ε y   .   L

    δ y = 1,6   .   10 - 4   .   20 = 0,0032   m m = 3,2   μ m

  5. Deformação na diagonal BD

Nesse vamos precisar fazer uma analise de derivadas, para isso podemos usar a seguinte conta:

C 2 = a 2 + b 2

Que seria como se estivéssemos determinando as diagonais a partir dos lados, como queremos uma variação, podemos fazer a seguinte derivada:

2 C   d c = 2 a   d a + 2 b   d b

Dividindo tudo por 2 teremos que:

C   d c = a   d a + b   d b

Sabemos que “a” e “b” são os lados do quadrado que podemos escrever como:

a = b = 20 m m

Sabemos também que “c” é o tamanho da diagonal, e com isso podemos escrever que:

c = 20 2

E sabemos quanto foi a variação dos lados “a” e “b”, sendo assim teremos que:

d a = 13,6   μ m

d b = 3,2   μ m

Substituindo na equação teremos que:

C   d c = a   d a + b   d b

d c = a   d a + b   d b C

d c = 20   .   13,6 + 20   .     3,2 20 2

d c = 13,6 + 3,2 2 = 11,90   μ m

Resposta

  1. δ x = 13,6   μ m
  2. δ y = 3,2   μ m
  3. d c = 11,90   μ m
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