Enunciado

Para uma barra submetida a um carregamento axial, expressar a deformação especifica normal ε ' , na direção que forma um ângulo de 45°C com o eixo do carregamento, em termos da deformação especifica axial ε x por:

  1. Comparação das hipotenusas dos triângulos indicados na F I g .   2.52 , que representam um elemento, antes e depois, da deformação;
  2. Usando os valores das correspondentes tensões σ ' e σ x indicadas na F i g .   1.36 , e a lei de H o o k e generalizada.

Passo 1

No item A queremos saber quanto vale a deformação especifica da nossa diagonal, e para isso o enunciado é bem claro em pedir esse cálculo através de elementos, por isso podemos fazer a seguinte suposição de cálculo:

Fazendo os elementos, teremos que:

E queremos definir exatamente a deformação relativa à hipotenusa que é definido por ε ' . Usando Pitágoras teremos que:

2   1 + ε ' 2 = 1 + ε x 2 + 1 - ϑ ε x 2

2 1 + 2 ε ' + ε ' 2 = 1 + 2 ε x + ε x 2 + 1 - 2 ϑ ε x + ϑ 2 ε x 2

Todos os elementos ao quadrado serão menores, logo podemos desprezar esses elementos que serão muito pequenos, sendo assim teremos que:

2 1 + 2 ε ' = 1 + 2 ε x + 1 - 2 ϑ ε x

2 + 4 ε ' = 2 + 2 ε x - 2 ϑ ε x

4 ε ' = 2 ε x - 2 ϑ ε x

ε ' = 2 ε x - 2 ϑ ε x 4 = ε x - ϑ ε x 2

ε ' = 1 - ϑ 2 ε x

Passo 2

Sabemos que o nosso elemento infinitesimal sujeito ao estado plano de tensões é dado por:

Sabemos que a lei de hooke é dada por:

ε ' = σ ' E - ϑ σ ' E

E a nossa figurinha é:

Sabemos que:

σ ' = P 2 A

Substituindo temos que:

ε ' = σ ' E 1 - ϑ = P 2 E A 1 - ϑ

Sabemos que:

σ x = P A

ε ' = σ x 2 E 1 - ϑ

E sabemos que:

σ x E = ε x

Assim podemos substituir e teremos que:

ε ' = ε x 2 1 - ϑ

Assim temos que a nossa deformação será:

ε ' = 1 - ϑ 2 ε x

E assim definimos as deformações.

Resposta

ε ' = 1 - ϑ 2 ε x

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