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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 165

A trajetória de uma partícula P e um elipse definida pelas relações r = 2 /(2 - cos θ ) e θ = π t, onde r e expresso em metros, t em segundos e θ em radianos. Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando (a) t = 0, (b) t = 0,5 s.

Passo 1

E ai galera, partiu mais suma questão de resmat? Vamos determinar a velocidade e a aceleração da partícula quando (a) t = 0, (b) t = 0,5 s.

Nós temos

r = 2 2 - cos ⁡ π t             θ = π t

Então

r ˙ = - 2 π sin ⁡ π t ( 2 - cos ⁡ π t ) 2             θ ˙ = π

e

r ¨ = - 2 π 2 π cos ⁡ π t 2 - cos ⁡ π t - sin ⁡ π t 2 π sin ⁡ π t ( 2 - cos ⁡ π t ) 3             θ ¨ = 0

= - 2 π 2 2 cos ⁡ π t - 1 - sin 2   π t ( 2 - cos ⁡ π t ) 3

Passo 2

  1. Em t = 0.

    2. r = 2   m             θ = 0

    r ˙ = 0             θ ˙ = π   rad/s

    r ¨ = - 2 π 2 m/ s 2               θ ¨ = 0

    Agora

    v = r ˙ e r + r θ ˙ e θ = 2 π e θ

    e

    a = r ¨ - r θ ˙ 2 e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ e θ

    = - 2 π 2 - 2 ( π ) 2 e r

    Passo 2

  2. Em t = 0.5 s:

r = 1   m             θ = π 2   rad

r ˙ = - 2 π ( 2 ) 2 = - π 2   m/s               θ ˙ = π   rad/s

r ¨ = - 2 π 2 - 1 - 1 ( 2 ) 3 = π 2 2   m/ s 2               θ ¨ = 0

Agora

v = r ˙ e r + r θ ˙ e θ = - π 2 e r + 1 π e θ

e

a = r ¨ - r θ ˙ 2 e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ e θ = π 2 2 - 1 ( π ) 2 e r + 2 - π 2 π e θ

Resposta

a)   v = 2 π   m/s e θ

a = - 4 π 2   m/ s 2 e r

b)   v = - π 2   m/s e r + π   m/s e θ

a = - π 2 2   m/ s 2 e r π 2   m/ s 2 e θ

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