Enunciado

A treliça espacial tetraédrica tem uma base horizontal A B C na forma de um triângulo isósceles e pernas A D , B D e C D que suportam a massa m no ponto D . Cada vértice da base é suspenso por um cabo vertical preso em suportes superiores. Calcule as forças induzidas nos elementos A C e A B .

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, aplicando as três equações de equilíbrio (para x , y e z ) no ponto A , pois nesse ponto temos as forças que queremos achar. Existem nesse nó como incógnitas as forças nos elementos A B , A C , A D e a força T A no cabo vertical. Então, como só temos 3 equações, não conseguimos resolver para essas 4 incógnitas. Devemos encontrar T A antes, de outra maneira, aplicando equações de equilíbrio para a treliça como um todo.

Passo 2

Queremos primeiro fazer as equações de equilíbrio na treliça como um todo pra encontrar as forças verticais em A , B e C . É mais conveniente trabalhar com equações que só tem uma incógnita, então fazer a equação do momento total em torno de y é bom, porque A e B estão no eixo e T A e T B não entram na conta. Então:

∑ M y = 0 ⇒ m g 1 - T C 3 = 0 ⇒ 3 T C = m g ⇒ T C = m g 3

Agora, pela simetria que há na estrutura em relação ao plano x z , fica claro que temos:

T A = T B

Então só teremos uma incógnita no cálculo da força total no eixo z :

∑ F z = 0 ⇒ - m g + T A + T B + T C = 0 ⇒ - m g + 2 T A + m g 3 = 0

Resolvendo achamos T A :

2 T A = m g - m g 3 = 2 m g 3 ⇒ T A = m g 3

Passo 3

Agora já temos T A , então só sobraram 3 forças desconhecidas em A , o que significa que conseguimos resolver o sistema com as 3 equações de equilíbrio. Precisamos das expressões dos vetores unitários de T A B , T A C e T A D para fazermos as equações tendo como incógnita só os módulos. Temos:

T → A B = T A B n ^ A B

n ^ A B é fácil de definir porque ele é o próprio vetor j ^ . Então:

T → A B = T A B j ^

Agora para T → A C :

n ^ A C = r → A C r → A C = 3 i ^ + 4 j ^ 3 2 + 4 2 = 3 i ^ + 4 j ^ 5

Então:

T → A C = T A C 3 i ^ + 4 j ^ 5

Só falta fazer para T → A D :

n ^ A D = r → A D r → A D = i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ 1 2 + 4 2 + 6 2 = i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ 1 + 16 + 36 = i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ 53

⇒ T → A D = T A D i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ 53

Passo 4

Agora basta somar os vetores das 4 forças atuantes em A e igualar a zero:

T → A + T → A B + T → A C + T → A D = 0

⇒ m g 3 k ^ + T A B j ^ + T A C 3 i ^ + 4 j ^ 5 + T A D i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ 53 = 0

Agrupamos os termos em i ^ , j ^ e k ^ :

3 5 T A C + 1 53 T A D i ^ + T A B + 4 5 T A C + 4 53 T A D j ^ + m g 3 - 6 53 T A D k ^ = 0

Cada um dos valores multiplicados pelos vetores unitários tem que ser zero, então temos 3 equações. Vamos primeiro pra última, que só tem uma incógnita:

m g 3 - 6 53 T A D = 0 ⇒ 6 53 T A D = m g 3 ⇒ T A D = 53 18 m g

Agora a primeira:

3 5 T A C + 1 53 T A D = 0

Substituindo T A D :

3 5 T A C + 1 53 ⋅ 53 18 m g = 0 ⇒ 3 5 T A C + m g 18 = 0

⇒ 3 5 T A C = - m g 18 ⇒ T A C = - 5 m g 54

O valor negativo significa que a força comprime a barra, e não traciona. Faltou apenas uma equação:

T A B + 4 5 T A C + 4 53 T A D = 0

Substituindo os valores já encontrados:

T A B + 4 5 ⋅ - 5 m g 54 + 4 53 ⋅ 53 m g 18 = 0

⇒ T A B - 2 m g 27 + 2 m g 9 = 0 ⇒ T A B - 2 m g 27 + 6 m g 27 = 0

⇒ T A B + 4 m g 27 = 0 ⇒ T A B = - 4 m g 27

Novamente obtivemos sinal negativo, então a força é de compressão.

Resposta

T A B = 4 m g 27   ( C )

T A C = 5 m g 54   ( C )

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