O trem passa o ponto A com uma velocidade escalar de 30   m / s e começa a reduzir sua velocidade escalar a uma razão constante de a t = - 0,25   m / s 2 . Determine a intensidade da aceleração do trem quando ele chega ao ponto B, onde s A B = 412   m .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Como sabemos que o valor de x = 500 , basta fazer as derivações e aplicar este valor na função! Depois, como a aceleração tangencial é constante, podemos utilizar as fórmulas desenvolvidas no capítulo para calcular a velocidade do trem no ponto. E aí sim! Estaremos quase finalizando a questão! Basta calcular a aceleração normal e obter o valor da aceleração no ponto B.

Passo 2

Vamos determinar qual o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y = 200 e x 1000

y ' = d y d x = e x 1000 5

y ' ' = d 2 y d x 2 = e x 1000 5000

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + e 2 x 1000 25 3 / 2 e x 1000 5000

Quando x = 400 , temos:

ρ = 3809   m

Passo 3

Precisamos determinar a velocidade do trem no ponto B. Como os dados que temos é aceleração tangencial e a distância entre os pontos A e B, utilizaremos então a seguinte fórmula:

v 2 = v 0 2 + 2 a t Δ s

v 2 = v 0 2 + 2 a t s A B

Portanto, substituindo os valores, temos:

v 2 = 30 2 + 2 ⋅ - 0,25 ⋅ 412

v = 26,3   m / s

Passo 4

Agora podemos calcular a componente normal da aceleração. Substituindo os valores na sua fórmula, obtemos:

a n = v 2 ρ = 26,3 2 3809 = 0,18   m / s 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = - 0,25 2 + 0,18 2

a = 0,31   m / s 2

Resposta

a = 0,31   m / s 2

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