Um carro move-se ao longo de uma trajetória circular de tal maneira que sua velocidade escalar é aumentada por a t = 0,5 e t   m / s 2 , onde t é dado em segundos. Determine as intensidades da sua velocidade e aceleração após o carro ter se movido s = 18   m partindo do repouso. Despreze a dimensão do carro.

Passo 1

Vamos começar de trás para frente. Desprezar as dimensões do carro significa que devemos considera-lo como uma partícula, o que possibilita fazermos a análise que fizemos até agora. Se o carro parte do repouso, a sua velocidade inicial é 0.

Para podermos responder está questão, precisamos determinar qual o tempo t em que o carro percorre uma distância de 18   m . Para isto, precisamos obter inicialmente a função posição do carro. Desta forma, precisamos resolver as seguintes integrais:

∫ v 0 v d v = ∫ t 0 t a t   d t

∫ s 0 s d s = ∫ t 0 t v   d t

E resolvermos a equação acima pra s = 18 . Após determinarmos o tempo, poderemos voltar e calcular a intensidade da velocidade, as componentes da aceleração e por fim determinar a sua intensidade!

Observem que o raio de curvatura foi dado na figura da questão! Ele é ρ = 30   m .

Passo 2

Vamos começar resolvendo as integrais! Como v 0 = 0 , s 0 = 0 e t 0 = 0 , pois o carro saiu do repouso, para a velocidade, temos:

∫ 0 v d v = ∫ 0 t a t   d t

∫ 0 v d v = ∫ 0 t 0,5   e t   d t

v = 0,5   e t

Já para a função posição,

∫ 0 s d s = ∫ 0 t v   d t

∫ 0 s d s = ∫ 0 t 0,5   e t   d t

s = 0,5   e t

Portanto, o tempo t em que s = 18   m é:

18 = 0,5   e t

36 = e t

t = ln ⁡ 36 s = 3,58   s

Passo 3

Agora que determinamos o tempo t = 3,58   s , vamos calcular a intensidade da velocidade. Substituindo este valor da função velocidade, temos:

v = 0,5 e ln ⁡ 36 = 18   m / s

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para as componentes da aceleração. Começando pela componente normal, temos:

a n = v 2 ρ = 18 2 30 = 10,8   m / s 2

Já a componente tangencial é dada por:

a t = 0,5   e ln ⁡ 36 = 18   m / s 2

Após determinarmos ambas as componentes da aceleração, vamos calcular a sua intensidade! Sendo assim,

a = a t 2 + a n 2

a = 21   m / s 2

Resposta

v = 18   m / s

a = 21   m / s 2

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