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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 117

Três placas de aço, cada uma com uma seção transversal de 25 m m x 150 m m , são soldadas juntas para formar uma coluna curta em forma de H . Posteriormente, por razões arquitetônicas, foi removida uma tira de 25 m m de cada lado de uma das placas. Sabendo que a força permanece centrada em relação a seção transversal original e que a tensão admissível é de 100   M P a , determine a maior força P.

  1. Que poderia ser aplicada a coluna original;
  2. Que pode ser aplicada a coluna modificada.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a carga P máxima que pode ser aplicada a nossa seção. Sabemos que a tensão pode ser definida pela seguinte equação:

σ x = - P A - M y I

Para o item A, como a seção original é simétrica, não precisamos da LN, precisamos do momento de inercia, assim podemos calcular da seguinte maneira:

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    • Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    Assim temos que:

    I = 150 × 25 3 12 + 150 × 25 × 87,5 2 + 25 × 150 3 12 + 150 × 25 3 12 + 150 × 25 × 87,5 2

    I = 64843750   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

    • Como a carga é centrada, não teremos a formação de momentos fletores. E se não tivermos a formação de momentos fletores, podemos ver a nossa tesnão da seguinte maneira

    σ x = P A

    σ S = P 3 × 150 × 25

    Sabemos que a tensão admissível é dada por:

    100 = P 11250

    P = 1125000   N = 1125   k N

    Passo 3

    Para o item B, precisamos tirar 25 mm de cada aba da face inferior, e com isso passamos a ter uma nova seção, e para essa nova seção precisamos de algumas coisas.

    Precisamos da LN para determinarmos tudo que precisamos, momento fletor, o valor de y e o valor do momento de inércia, com isso podemos usar a seguinte fórmula para a LN.

    y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

    A nossa seção é dada por:

    Substituindo teremos que:

    y - = 150 × 25 × 187,5   + 150 × 25 × 100 + 100 × 25 × 12,5   150 × 25 + 150 × 25 + 100 × 25

    y - = 110,9375   m m  

    Passo 2

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  • I

    • Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 150 × 25 3 12 + 150 × 25 × 76,5625 2 + 25 × 150 3 12 + 150 × 25 × 10,9375 2 + 100 × 25 3 12 + 100 × 25 × 98,4375 2

    I = 54012044   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

E para calculo de momentos fletores temos que detemrinar a excentricidade, sendo assim teremos que:

M = - P   x   e

M = - P   x 110,9375 - 100 = - 10,9375 P   N m m

Substituindo nas tensões teremos que:

σ x = - P A - M y I

σ S = - P 10000 - - 10,9375 P 89,0625 54012044

σ I = - P 10000 - - 10,9375 P - 110,9375 54012044

Sabemos que a tensão admissível é dada por:

σ S = - P 10000 - - 10,9375 P 89,0625 54012044

100 = - 1   .     10 - 4 P + 1,80   .   10 - 5 P

100 = - 8,20   .     10 - 5 P

P = - 1219512   N = - 1220   k N

σ I = - P 10000 - - 10,9375 P - 110,9375 54012044

100 = - 1   .     10 - 4 P - 2,25   .   10 - 5 P

100 = - 1,22   .     10 - 4 P

P = - 816560   N = - 817   k N

Como queremos a máxima carga que pode ser aplicada, devemos tomar o cuidado de usarmos a menor carga, porque pense da seguinte maneira. Se usarmos a máxima carga, ela irá romper a menor seção, porém se usarmos a menor carga, ela irá manter tanto a maio tensão quanto a menor tensão, sendo assim teremos que:

P = - 817   k N

Resposta

  1. P = 1125   k N

  2. P = - 817   k N
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