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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 62

62. A unidade motorizada de 20   k g com velocidade variável é limitada na direção horizontal por duas molas, cada uma das quais possui uma rigidez de 2,1   k N / m . Cada um dos dois amortecedores possui um coeficiente de amortecimento viscoso c = 58 N ⋅ s / m . Em que faixas de velocidades N o motor pode ser operado para que o fator de amplificação M não seja superior a 2 ?

Passo 1

Bom, primeiro, a gente vai encontrar a frequência de ressonância ω n pela fórmula:

ω n = k m

Onde k é a constante elástica da mola e m   é a massa da unidade, lembrando que como há 2 molas, devemos multiplicar k por 2

ω n = 2 ( 2,1 × 10 3 N / m ) 20   k g

ω n ≅ 14,49   r a d / s

Passo 2

Agora, vamos calcular o fator de amortecimento ζ pela fórmula abaixo:

ζ = c 2 m ω n

Onde c é o coeficiente de amortecimento viscoso (e lembrando de multiplicar por 2 , pois há 2 amortecedores)

ζ = 2 ( 58   N ⋅ s / m ) 2 ( 20   k g ) ( 14,49 r a d / s )

ζ = 0,2

Passo 3

Utilizaremos agora, a fórmula do fator de amplificação, sendo que já temos o valor de M = 2 :

M 2 = 1 1 - ω / ω n 2 2 + 2 ζ ω / ω n 2

Para simplificar os cálculos, vamos relacionar:

r = ω ω n = ω 14,49

E voltemos ao fator de amplificação:

2 2 = 1 1 - r 2 2 + 4 ( 0,2 ) 2 r 2

4 = 1 1 - 2 r 2 + r 4 + 0,16 r 2

4 = 1 1 - 1,84 r 2 + r 4

4 1 - 1,84 r 2 + r 4 = 1

1 - 1,84 r 2 + r 4 = 1 / 4

r 4 - 1,84 r 2 + 0,75 = 0

Essa equação pode ser reescrita como:

z 2 - 1,84 z + 0,75 = 0 → z = r 2

E as raízes, já sabemos que são dadas pela seguinte fórmula

z = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

z = - ( - 1,84 ) ± ( - 1,84 ) 2 - 4 ⋅ 0,75 2 ⋅ 1

z = 0,610   o u   z = 1,230

E como z = r 2 :

r 2 = 0,610   o u   r 2 = 1,230

Passo 4

Agora, lembrando da relação que fizemos com o r , vamos substituir ele de volta.

Para r 2 = 0,610

ω 14,49 = r = 0,610

ω ≅ 14,49   r a d / s ⋅ 0,781

ω ≅ 11,32 r a d / s ≅ 108,1   r e v / m i n

Agora, para   r 2 = 1,230

ω 14,49 = r = 1,230

ω ≅ 14,49   r a d / s ⋅ 1,109

ω ≅ 16,07 r a d / s ≅ 153,5   r e v / m i n

Resposta

Para que o fator de amplificação não seja superior a 2 , a velocidade N deve estar no intervalo:

N ≤ 108,1 r e v / m i n o u   N ≥ 153,5 r e v / m i n

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