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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 188

Usando a equação (4.66), determine a expressão para R dada na Fig. 4.61 para uma seção transversal trapezoidal.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer nesse exercício é esboçar a região de interesse e o elemento infinitesimal que iremos utilizar para integrar na equação 4.66, sendo assim, teremos:

Beleza! Da figura acima, conseguimos escrever a largura da seção hachurada em função de duas constantes que vamos chamar de c 0 e c 1 e da distância r do centroide.

w = c 0 + c 1 r

Agora, para descobrir o valor das constantes c 0 e c 1 , vamos utilizar as condições de contorno com relação a geometria do trapézio em si, de onde teremos:

r = r 1 → w = b 1

r = r 2 → w = b 2

Então, substituindo essas expressões na equação para w , teremos o seguinte sistema:

b 1 = c 0 + c 1 r 1

b 2 = c 0 + c 1 r 2

Isolando c 0 da primeira equação, temos:

c 0 = b 1 - c 1 r 1

Substituindo essa relação na segunda equação, chegamos em:

b 2 = b 1 - c 1 r 1 + c 1 r 2 → b 2 - b 1 = c 1 r 2 - r 1 → c 1 = b 2 - b 1 r 2 - r 1

No entanto, da análise da figura, podemos ver que r 2 - r 1 = h . Então a equação para c 1 se torna:

c 1 = b 2 - b 1 h

Passo 2

Agora vamos substituir a expressão encontrada para c 1 lá na equação para c 0 , então teremos:

c 0 = b 1 - b 2 - b 1 h r 1 = b 1 h - b 2 r 1 + b 1 r 1 h = b 1 r 2 - r 1 - b 2 r 1 + b 1 r 1 h

c 0 = b 1 r 2 - b 1 r 1 - b 2 r 1 + b 1 r 1 h → c 0 = b 1 r 2 - b 2 r 1 h

E a nossa expressão para w se torna:

w = b 1 r 2 - b 2 r 1 h + b 2 - b 1 h r

Agora vamos escrever a expressão para a área do trapézio, que é:

A = 1 2 b 1 + b 2 h

E, na forma infinitesimal, temos:

d A = w d r

Substituindo a expressão encontrada para w , d A se torna:

d A = b 1 r 2 - b 2 r 1 h + b 2 - b 1 h r d r

Agora, nós sabemos que a equação 4.66 apresentada nesse capítulo tem a seguinte forma:

R = A ∫ d A r

Substituindo as expressões conhecidas, a equação acima se torna:

R = 1 2 b 1 + b 2 h ∫ r 1 r 2 b 1 r 2 - b 2 r 1 h + b 2 - b 1 h r r d r

Separando as integrais, teremos:

R = 1 2 b 1 + b 2 h ∫ r 1 r 2 b 1 r 2 - b 2 r 1 h r d r + ∫ r 1 r 2 b 2 - b 1 h d r = 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ∫ r 1 r 2 d r r + b 2 - b 1 h ∫ r 1 r 2 d r

Passo 3

Agora vamos resolver as integrais do denominador, chegando em:

R = 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ln ⁡ r r 1 r 2 + b 2 - b 1 h r r 1 r 2

Substituindo os limites de integração, teremos:

R = 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ln ⁡ r 2 - ln ⁡ r 1 + b 2 - b 1 h r 2 - r 1

R = 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ln ⁡ r 2 r 1 + b 2 - b 1 h r 2 - r 1 = 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ln ⁡ r 2 r 1 + b 2 - b 1 h h

R = 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ln ⁡ r 2 r 1 + b 2 - b 1

Ela tá quaaase igual ao que queremos, faltam dois detalhes, devemos multiplicar a equação em cima e embaixo por h e fazer aparecer o sinal de (-) no termo ( b 2 - b 1 ) do denominador, então, fazendo isso, teremos:

R = h h . 1 2 b 1 + b 2 h b 1 r 2 - b 2 r 1 h ln ⁡ r 2 r 1 - - b 2 + b 1

R = 1 2 h 2 b 1 + b 2 b 1 r 2 - b 2 r 1 ln ⁡ r 2 r 1 - h b 1 - b 2

Finalmeeente! Conseguimos encontrar a relação que foi pedida!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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