Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 108
(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine o valor máximo do momento fletor na viga.
Passo 1
Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:
Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:
Opa! Agora, como temos um carregamento distribuído, devemos lembrar que nesse caso, prolongamos o carregamento dado até o final da viga e colocamos um carregamento de mesma intensidade, mas sentido oposto, na porção onde não tínhamos carregamento no sistema original. Ou seja, o carregamento equivalente ficará assim:
Com essa adição, as forças fornecidas no enunciado e a reação encontrada em A, podemos escrever a equação para a força cortante, lembrando que o carregamento possui ordem 1 na equação da força cortante. Sendo assim, a equação para a força cortante será:
Passo 2
Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:
Isolando as variáveis dessa equação, temos:
Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:
Agora, substituindo a expressão encontrada para no passo 1, a equação acima se torna:
Resolvendo a integral, teremos:
Em que é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:
Então a equação do momento será:
Passo 3
Agora para a letra (b), precisamos encontrar o valor do momento máximo. Sabemos que temos um valor máximo ou mínimo para uma função quando sua derivada é zero, então vamos igualar a derivada da equação momento a zero e encontrar a localização de . No entanto, como vimos no passo 2, a derivada da função momento é justamente a equação para a força cortante, então, igualando essa equação a zero, temos:
Aqui, como estamos lidando com função de singularidade, precisamos definir um intervalo de para estudo, no nosso caso, vamos adotar o intervalo referente ao meio da viga, onde provavelmente teremos o maior valor de momento, então nosso intervalo será:
Então, igualando a equação da força cortante a zero nesse intervalo, teremos:
Então, substituindo esse valor de na equação para o momento encontrada lá no passo 2, teremos:
Passo 4
Agora para tirar a limpo, vamos calcular o valor do momento máximo no intervalo da extremidade esquerda e direita. Então, começando pela extremidade esquerda, nosso intervalo será:
Então, igualando a equação da força cortante a zero nesse intervalo, teremos:
Consegue ver que nem conseguimos achar um valor de nesse caso? Então vamos somente calcular o valor do momento máximo nessa seção, que ocorre em , então, substituindo esse dado na equação do momento, teremos:
Agora vamos analisar o intervalo na extremidade direita, em:
Então, igualando a equação da força cortante a zero nesse intervalo, teremos:
Olha só! O valor de encontrado não está no intervalo de estudo, quer dizer que nesse intervalo não temos valores de máximo ou mínimo da função. Então, o maior momento é realmente aquele que encontramos no passo 3.