Enunciado

Usando o método da Sec 7.4, resolver o prob. 7.26

Passo 1

Fala aí, galera! Para resolver esse problema vamos utilizar o método da seção 7.4 que nos traz uma maneira mais prática de achar os momentos fletores e forças cortantes.

Esse método é baseado no fato da força cortante ser igual a derivada do momento fletor. Com isso vamos poder achar o momento fletor integrando a força cortante da seguinte forma:

M_A - M_B = int_A^B V (x) d x

Além disso vamos calcular a força cortante bem rapidamente também analisando apenas as forças líquidas na seção.

Vamos ver com mais calma conforme vamos resolvendo, então partiu!

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer é um diagrama das forças de modo a achar as forças de reação:

Como só existe uma força na horizontal podemos já dizer logo que ela é nula, logo A_x = 0 . Agora vamos partir para as forças verticais:

sum F_y = 0

A_y - 20 - 20 - 10 - 10 - 10 + B_y = 0

A_y + B_y = 70 k N

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e assumindo o sentido horário positivo:

sum M_A = 0

(20 xx 0,38) + (20 xx 0,76) + (10 xx 1,14) + (10 xx 1,52) + (10 xx 1,9) - B_y xx 2,28 = 0

B_y = 30 k N

Logo,

A_y = 70 - 3 0 = 4 0 k N

Passo 3

Pronto! Agora vamos achar a força cortante, como já havia dito a força cortante será igual ao valor líquido das forças anteriores a ela.

Então para a seção A C vamos ter:

V (x) = A_y = 40 k N

Agora para achar o momento fletor basta integrar esse valor:

M_C - M_A = int_A^C V (x) d x

Aqui a gente vai achar o momento fletor no ponto C , isso porque o momento fletor nas pontas sempre será igual a zero, beleza? Então M_A = 0

M_C - 0 = int_0^(0 , 3 8) 40 d x

M_C = [40 x]_0^(0 , 3 8)

M_C = 40 xx 0 , 38 = 15,2 k N . m

Utilizamos 0 e 0 , 3 8 porque são os pontos que representam A e C

Como o problema pede a máxima tensão normal numa seção transversal a D vamos ter que calcular M_D também:

M_D - M_C = int_C^D V (x) d x

Para isso vamos ter que ter a força cortante:

V = 40 - 20 = 20 k N

Subsituindo:

M_D - 15,2 = int_0^(0 , 3 8) 20 d x

Lembrando que cada nova seção temos que iniciar o x do zero.

M_D = [20 x]_0^(0 , 3 8) + 1 5 , 2

M_D = 20 xx 0 , 38 + 15 , 2

M_D = 22,8 k N . m

Passo 4

Agora vamos calcular a máxima tensão normal numa seção transversal em D . Logo antes de D o momento fletor vale M = 15 , 2 k N . m e logo depois vale M = 22,8 k N . m , assim vamos utilizar o segundo valor.

Agora é só substituir na equação da tensão normal:

sigma = (M c)/(I)

Como a viga é uma viga S 200 xx 27,4 a gente vai lá na tabela dos perfis I e acha os valores do momento de inércia e da altura:

d = 20 3 m m

Assim, podemos saber o valor de c porque c é a maior distância entre a linha neutra e superfície da peça. É basicamente a metade de d :

c = (d)/(2) = (20 3)/(2) = 101,5 m m

c = 0,1015 m

E o momento de inércia I :

I = 24 xx 10^(- 6) m^4

Substituindo:

sigma = (M c)/(I)

sigma = (22,8 . 10^3 xx 0,1015)/(24 xx 10^(- 6))

sigma = 96,43 M P a

Passo 5

Por fim é só jogar na formulinha da tensão cisalhante, como a gente quer no ponto imediatamente a direita de A vamos ter uma força cortante de:

V = 40 k N

Colocando na fórmula:

tau = (V)/(A_a l m a)

Da tabela de perfis de aba larga vamos ter que:

t_w = 6,9 m m

d = 203 m m

t_f = 10,8 m m

Assim podemos calcular a área:

A = t_w xx ( d - 2 t_f )

A = ( 0,0069 ) ( 0 , 203 - 2 xx 0,01 08 )

A = 1,25 xx 10^(- 3) m^2

Substituindo:

tau = (V)/(A_a l m a)

tau = (4 0 . 10^3)/(1,25 xx 10^(- 3))

tau = 32 M P a

Resposta

a)

sigma = 96,43 M P a

b)

tau = 32 M P a

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