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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 81

Usando o método do trabalho e energia, determinar a declividade no ponto D , devida ao momento M 0 .

Passo 1

Oi, pessoal! Como vão? Partiu fazer um exercício de cálculo de declividade através do método de energia?

Essa questão mostra uma viga sendo carregada com um momento M 0 . Esse momento faz a barra absorver uma energia U e se deformar. O enunciado pede que a gente ache a declividade θ D no ponto D da viga (inclinação da viga no ponto D ), usando duas equações de U . A primeira, calcula U a partir do momento fletor M 0 .

U = M 0 θ D 2

A segunda equação, calcula U por meio de uma integral do momento fletor M da viga.

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

Igualando essas duas equações de U , achamos θ D .

A figura abaixo mostra os dados que temos para achar θ D .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. No entanto, apenas uma delas é suficiente para a gente achar o momento fletor M . No próximo passo, calcularemos uma das duas forças então!

Passo 2

Como vamos calcular o momento fletor M fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer apenas R A ! Podemos excluir R B , porque essa força não vai fazer parte do equilíbrio da parte esquerda da barra!

Para achar R A sem precisar achar R B , podemos calcular R A através da equação de equilíbrio de momento no ponto B . Como a força R B não tem braço de alavanca em B , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em B .

Como a força R A e o momento M 0 fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A e de M 0 .

- M A - M 0 = 0       ⟹       - R A L - M 0 = 0       ⟹       R A = - M 0 L

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui o momento M 0 e outro quando a parte esquerda inclui o momento M 0 . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Novamente precisamos lembrar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

- M A + M = 0       ⟹       - R A x + M = 0       ⟹       - - M 0 L x + M = 0       ⟹       M = - M 0 x L

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

Novamente precisamos lembrar que, como a força R A e o momento M 0 fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A e de M 0 .

- M A - M 0 + M = 0       ⟹       - R A x - M 0 + M = 0

Substuindo R A na equação:

- - M 0 L x - M 0 + M = 0       ⟹       M = - M 0 L x - L

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a e outro, quando x vale entre a e L .

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = - M 0 x L

S e   a < x ≤ L       ⟹       M = - M 0 L x - L

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M e outra que vai de a a L para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x       ⟹       U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a L M 2 2 E I d x

Substituindo os valores de M nas integrais corretas, achamos:

U = ∫ 0 a - M 0 x L 2 2 E I d x + ∫ a L - M 0 L x - L 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = M 0 2 2 E I L 2 ∫ 0 a x 2   d x + M 0 2 2 E I L 2 ∫ a L x - L 2   d x

U = M 0 2 2 E I L 2 x 3 3 0 a + M 0 2 2 E I L 2 x - L 3 3 a L           ⟹           U = M 0 2 2 E I L 2 a 3 3 - M 0 2 2 E I L 2 a - L 3 3

No entanto, podemos lembrar que L - a é igual a - b !

U = M 0 2 2 E I L 2 a 3 3 + M 0 2 2 E I L 2 b 3 3         ⟹         U = M 0 2 6 E I L 2 a 3 + b 3

Substituindo essa equação de U na primeira equação de U do passo 1, achamos:

U = M 0 θ D 2       ⟹       M 0 2 6 E I L 2 a 3 + b 3 = M 0 θ D 2       ⟹       θ D = M 0 3 E I L 2 a 3 + b 3

Até que enfim encontramos o que a questão queria! Show!

Resposta

θ D = M 0 3 E I L 2 a 3 + b 3

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