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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 114

Usando as técnicas descritas no Apêndice A, Exemplo A.5 ou A.6, a seção em Z tem momentos principais de inércia Iy= 0,060(10-3)m4 e Iz= 0,471(10-3)m4, calculados em torno dos eixos principais de inércia y e z, respectivamente. Se a seção for submetida a um momento interno

M = 250 N · m direcionado na horizontal, como mostra a figura, determine a tensão produzida no ponto A.

Passo 1

Faaaala, meu povo bonito!! Tudo bem com vocês?? A questão de hoje tem essa cara meio estranha e formal, mas ele enrolou só pra dizer que os momentos de inércia, nos eixos y e z, são aqueles dados, e um momento M foi aplicado formando um ângulo de 32,9º em relação ao y com a horizontal. Depois desse monte de número, vamos determinar a tensão no ponto A. E aí, preparados?? Bora lá!

Passo 2

Primeira coisa que vamos fazer aqui é desenhar. Esse monte de eixo, coordenadas, ângulos e números tá tudo bagunçado. Vamos usar a geometria analítica para encontrar a equação da reta para achar as coordenadas de A, já que os eixos estão fora do eixo (entenderam a piada?? Kkkkk Não?? Ok, vamos voltar). Vamos traçar uma reta paralela ao eixo y que passa por A.

Reta y que passa por 0,0 e - 150   mm ,   97,04   mm :

y   =   - 0,647 x

Reta A que passa por 0,0 e   - 150   mm ,   175   mm :  

y A   =   - 0,647 x   +   77,95

Reta z com α   =   57,1 ° :

y z   = tan ⁡ 57,1 ° x

y z =   1,546 x  

Para acharmos a intersecção com o eixo x, vamos igualar y A   =   y z :

x A z =   35,548   mm

Assim, para acharmos o valor da intersecção de y, vamos substituir x A z em y z   :

y A z =   54,95   mm

Agora, depois de tanta reta de um lado pro outro, vamos fazer o módulo da distância entre o ponto A e a intersecção com y, nos dando sua nova coordenada.

y = x A - x A Z 2 + ( y A - y A Z ) ²

y =   221   mm

Para a coordenada em z, é só a gente dividir pelo cosseno do ângulo entre as retas

z =   - 35,548 cos ⁡ 57,1 °

z =   - 65,45   m m

Passo 3

Depois de acharmos esses mil passos para as coordenadas de A, vamos jogar esses valores nas equações da decomposição do momento, para sabermos quanto vale cada uma de suas componentes.

M y = 250 . cos ⁡ 32,9 ° = 209,9   N.m

M z =   250 . sin ⁡ 32,9 ° = 135 , 8   N.m

Sabemos que a tensão resultante será a soma de cada uma das componentes dos momentos de cada eixo. Sendo assim:

σ =   - M z y I z + M y z I y

σ = - 293   kPa

Resposta

σ = - 293   kPa

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