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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 87

A velocidade de disparo de um fuzil de longo alcance em A é u = 400   m / s . Determine os dois ângulos de elevação θ , que permitirão ao projétil acertar a montanha no alvo B .

Passo 1

Galera, para que o projétil atinja o ponto B , precisamos que, quando x = 5   k m , tenhamos y = 1,5   k m . Então, se tivermos a equação da trajetória parabólica que a bola faz, ou seja, se encontrarmos uma equação que nos dê y em função de x , poderemos determinar os possíveis valores de θ .

Pra obtermos isso, começamos equacionando o movimento horizontal, lembrando que u = 0,4   k m / s :

x = x 0 + v x t = u cos ⁡ θ t = 0,4 cos ⁡ θ t

t = x 0,4 cos ⁡ θ

Para o movimento vertical, considerando g = 0,0098   k m / s , teremos:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = u   s e n   θ   t - 1 2 g t 2 = 0,4   s e n   θ   t - 0,00 49 t 2

Substituiremos a expressão de t encontrada:

y = 0,4   s e n   θ   x 0,4 cos ⁡ θ - 0,0049 x 0,4 cos ⁡ θ 2

y = t g   θ   x - 0,0 306 cos 2 ⁡ θ x 2

Passo 2

Show! Agora vamos substituir as coordenadas do ponto B , isto é, x = 5   k m e y = 1,5   k m , para calcular θ :

1,5 = t g   θ 5 - 0,0306 cos 2 ⁡ θ 5 2

1,5 = 5   t g   θ - 0,765 sec 2 ⁡ θ

Lembrando da relação sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ , temos:

1,5 = 5   t g   θ - 0,765 - 0,765   t g 2 θ

0,765   t g 2 θ - 5   t g   θ + 2,265 = 0

t g   θ = 0,4897                     o u                     t g   θ = 6,046

Assim sendo, os dois ângulos serão:

θ 1 = t g - 1 0,4897 = 26,1 °

θ 2 = t g - 1 6,046 = 80,6 °

Resposta

θ 1 = 26,1 °

θ 2 = 80,6 °

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