O ventilador elétrico possui uma velocidade constante de 1720   r p m no sentido indicado com seu eixo orientado conforme mostrado. Se as componentes x e y da velocidade do ponto A na extremidade da pá são 15   m / s e - 20   m / s , respectivamente, determine o modulo v da velocidade da extremidade da pá e o diâmetro das pás do ventilador.

Passo 1

Vamos resolver esse problema nos baseando no ponto A, a velocidade angular e a velocidade linear nesse ponto são perpendiculares, o que significa que o produto interno entre eles é zero:

ω → ∙ v → = 0

Com isso podemos obter a última componente da velocidade linear, já que as outras duas já são dadas no enunciado, para calcularmos v .

Passo 2

Calculando primeiro o vetor ω → , podemos escrevê-lo como sendo o produto do vetor posição (nas componentes x, y e z) do ponto A vezes a magnitude ω , dividido pelo módulo do vetor posição:

ω → = ω ( 300 m m i ^ + 150 m m j ^ + 300 m m k ^ ) 300 m m 2 + 150 m m 2 + 300 m m 2 = ω 3 ( 2 i ^ + 1 j ^ + 2 k ^ )

Passo 3

E o vetor v → será:

v → = 15 m / s i ^ - 20 m / s j ^ + v z k ^

Passo 4

Fazendo o produto interno:

ω → ∙ v → = ω 3 ( 2 i ^ + 1 j ^ + 2 k ^ ) ∙ 15 m / s i ^ - 20 m / s j ^ + v z k ^ = 0

30 m / s - 20 m / s + 2 v z = 0

v z = - 5 m / s

E por fim, calculamos o módulo de v →

Passo 5

E por fim, calculamos o módulo de v →

v = 15 m / s 2 + - 20 m / s 2 + - 5 m / s 2

v = 25.5 m / s

Passo 6

Como o diâmetro é duas vezes o raio do centro até a extremidade A, podemos escrever:

v = ω d 2

d = 2 v ω = 2 ( 25.5 m / s ) 1720 r p m × 2 π / 60 m i n = 0.283 m

Resposta

v = 25.5 m / s

d = 0.283 m

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