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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.12 - Ex. 127

127. A casca cilíndrica está girando no espaço em torno de seu eixo geométrico. Se o eixo sofre uma ligeira oscilação, para quais razões de l / r o movimento será de precessão direta ou retrógrada?

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai esquematizar a casca cilíndrica:

Passo 2

Agora, vamos calcular os momentos de inércia I e I 0 para verificar a razão I 0 / I , onde:

I = I z z

E

I 0 = I x x

Para o valor de I dado por:

I = m r 2

Já para I 0 , precisaremos usar o teorema dos eixos paralelos:

I 0 = 1 2 m r 2 + 1 12 m l 2

I 0 I = 1 2 m r 2 + 1 6 l 2 m r 2

I 0 I = 1 2 m r 2 m r 2 + 1 12 m l 2 m r 2

I 0 I = 1 2 + 1 12 l r 2

Passo 3

Para termos uma precessão direta a razão I 0 / I deve ser maior que 1 :

I 0 I > 1 → 1 2 + 1 12 l r 2 > 1

1 12 l r 2 > 1 2

l r 2 > 12 2

l r > 6

Passo 4

Já para termos uma precessão retrógrada, a razão I 0 / I deve ser menor que 1 :

I 0 I < 1 → 1 2 + 1 12 l r 2 < 1

1 12 l r 2 < 1 2

l r 2 < 12 2

l r < 6

Resposta

Razão l / r para uma precessão direta:

l r > 6

Razão l / r para uma precessão retrógrada:

l r < 6

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