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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 61

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a declividade na extremidade A ;   (c) a deflexão no ponto C .

Passo 1

Fala aí galera. Partiu gabaritar resmat? O primeiro passo para esta questão é determinar as reações de apoio .   Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ M A = 0 → w 0 × L 2 × 1 2 × L 2 + L 2 × 2 3 = F B L

F B = 5 w 0 L 2 24 L = 5 w 0 L 24

∑ F y = 0 → F A = w 0 × L 2 × 1 2 - F B

F A = w 0 L 4 - 5 w 0 L 24 = w 0 L 24

Portanto, a equação do momento em função de x será determinada acrescentando-se as parcelas do momento ao longo da estrutura. Ou seja:

M x = F A x - < x - L 2 > 1 w 0 2 < x - L 2 > 1 3  

M x = w 0 L 24 x - < x - L 2 > 2 w 0 6  

A função - < x - L 2 > 2 w 0 6 é chamada de função degrau. Logo, ela só funciona quando temos x > L 2 .   Quando x ≤ L 2 , ela é nula.

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

d y 2 d 2 x = w 0 L 24 x - < x - L 2 > 2 w 0 6 E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = w 0 L 24 x 2 2 - < x - L 2 > 3 w 0 18 + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que θ 0 = - θ ( L ) , pois a declividade no primeiro apoio é o inverso da declividade no segundo apoio,   logo:

E I   θ 0 = C 1

E I   θ L = w 0 L 24 L 2 2 - < L - L 2 > 3 w 0 18 + C 1 = w 0 L 3 48 - L 2 3 w 0 18 + C 1

C 1 = - w 0 L 3 48 + L 3 w 0 144 - C 1

C 1 = - w 0 L 3 96 + L 3 w 0 288 = - 2 w 0 L 3 288

Portanto:

E I   θ = w 0 L 24 x 2 2 - < x - L 2 > 3 w 0 18 - 2 w 0 L 3 288

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = w 0 L 24 x 3 6 - < x - L 2 > 4 w 0 72 - 2 w 0 L 3 288 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0 → C 2 = 0

Pois no apoio não há deflexão.

Logo:

E I   y = w 0 L 24 x 3 6 - < x - L 2 > 4 w 0 72 - 2 w 0 L 3 288 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos, substituindo as posições pelo valor de x nas funções encontradas. Para a letra b:

E I   θ 0 = w 0 L 24 0 2 2 - < 0 > 3 w 0 18 - 2 w 0 L 3 288

θ 0 = - 2 w 0 L 3 288 E I

Para a letra c:

E I y L 2 = w 0 L 24 L 2 3 6 - < 0 > 4 w 0 72 - 2 w 0 L 3 288 L 2

y L 2 = w 0 L 4 1152 E I - 2 w 0 L 4 576 E I = - 3 w 0 L 4 1152 E I = w 0 L 4 384 E I

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = w 0 L 24 x - < x - L 2 > 2 w 0 6 E I
  2. θ 0 = - 2 w 0 L 3 288 E I
  3. y L 2 = w 0 L 4 384 E I
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