Enunciado

A barra de 100   m m de largura suporta uma carga de 11   k N e repousa sobre uma fundação, que exerce um carregamento linearmente distribuído como mostrado. Pde-se: (a) Determinar os valores de w A e w b , correspondente ao equilíbrio; (b) Sabendo-se que σ a d m = 170   M P a , determinar a mínima espessura t que pode ser usada.

Passo 1

Oi, fala aí, galerinha!!! Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular a força cortante, o momento fletor e achar o momento fletor máximo.
  2. Calcular o módulo resistente da seção W .
  3. O item anterior nos fornecerá com um W mínimo para que a viga resista às cargas. Logo, para achar o perfil I temos de ir na tabela de perfis I no final do livro e selecionar aqueles em que W > W m í n   e seja o mais econômico.

Então partiu pro exercício!

Passo 2

Neste caso, como a viga esta apoiada no chão então não há forças de reação locais e sim uma força distribuída sobre toda a sua extensão. Podemos calcular essa forma da forma:

∑ F y = 0

11 - F d i s t r i b u í d a = 0

F d i s t r i b u í d a = 11   k N

Então a gente sabe que a força total aplicada pela fundação na barra vale 11   k N , mas além disso é uma carga linearmente distribuída então precisamos achar w A e w B . Aplicando o conceito de força concentrada para cargas linearmente distribuídas vamos ter:

w A + w B 2 = F d i s t r i b u í d a

w A + w B 2 × 1,2 = 11

w A + w B = 18,33

Show de bola, agora precisamos de mais uma equação. Essa outra equação será fornecida por meio do somatório dos momentos:

∑ M A = 0

Mas antes de continuar a gente tem que saber a posição onde a força distribuída é aplicada, para isso vamos substituir o nosso carregamento trapezoidal por dois carregamentos, um uniforme e outro triangular da seguinte forma:

Passo 3

O carregamento uniforme terá valor concentrado de:

F 1 = w B × 1,2

E atuará exatamente na metade da barra:

d 1 = 1,2 2 = 0,6   m

Já o carregamento triangular terá valor de:

F 2 = w A - w B + 0 2 × 1,2 = 0,6 ( w A - w B )

E atuará no ponto:

d 2 = 1 3 × 1,2 = 0,4   m

Voltando à nossa equação:

∑ M A = 0

Aqui vamos considerar o sentido horário positivo.

∑ M A = 11 × a - F 1 × d 1 - F 2 × d 2 = 0

Substituindo os valores que achamos:

11 × 0,45 - 1,2 w B × 0,6 - 0,6 ( w A - w B ) × 0,4 = 0

4,95 - 0,72   .   w B + 0,24   .   w B - 0,24   .   w A = 0

0,24 w A + 0,48 w B = 4,95

simplificando por 0,24:

w A + 2 w B = 20,625

Passo 4

Juntando com a primeira equação temos o nosso sistema:

w A + w B = 18,33

w A + 2 w B = 20,625

Substraindo o segundo pelo primeiro:

w B = 2,29   k N / m

w A = 16,04   k N / m

Resolvida a letra A!

Passo 5

Agora vamos ter que achar o valor do momento fletor máximo, que ocorre exatamente no ponto de aplicação da força de 11   k N . Para isso vamos aplicar a equação deste carregamento e achar o valor do carregamento em x = 0,45   m :

w x = w B + ( w A - w B ) 1,2 × ( 1,2 - x )

Podemos substituis os valores:

w x = 2,29 + ( 16,04 - 2,29 ) 1,2 × ( 1,2 - x )

w x = 2,29 + 11,45833 × ( 1,2 - x )

w x = 16,04 - 11,45833 x

Beleza esse é o nosso carregamento, para achar a força cortante a gente integra isso:

V = - ∫ w x   d x

V = - ∫ 16,04 - 11,45833 x   d x

V x = - 16,04 x + 5,729 x 2 + C

V x = - 16,04 x + 5,729 x 2 + 11 x - 0,45 0

Lembrando que o último termo é igual a 11 caso x ≥ 0,45 m e nulo caso x < 0,45 m .

do momento fletor.

Passo 6

Agora vamos ter que achar de fato o momento fletor nesse ponto. Para isso vamos achar a equação de momento fletor integrando a da força cortante:

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ - 16,04 x + 5,729 x 2 + 11 x - 0,45 0   d x

M x = - 8,02 x 2 + 1,91 x 3 + 11 x - 0,45 1 + C

nesse caso não existe momento puro logo c = 0 assim:

M x = - 8,02 x 2 + 1,91 x 3 + 11 x - 0,45 1

Subsitituindo x = 0,45   m

M m á x = - 1,62 + 0,174 = - 1,45   k N . m

Podemos utilizar apenas o módulo:

M m á x = 1,45   k N . m

Passo 7

Agora vamos achar o momento resistente mínimo que a viga deve possuir W m í n , que é dado por:

W m í n = M m á x σ a d m

W m í n = 1450   170

W m í n = 8,529 × 10 - 6   m 3 = 8,529 × 10 3   m m 3

Passo 8

Agora vamos calcular o módulo resistente da barra:

W = I c

Como

I = 1 12 b h 3

W = 1 12 b h 3 c

e

c = t 2

W = 1 12 100 t 3 t 2

W = 16 , 67 t 2

Igualando ao valor que achamos:

8,529 × 10 3 = 16 , 67 t 2

t =   22,6   m m

Resposta

a)

w B = 2,29   k N / m

w A = 16,04   k N / m

b)

t =   22,6   m m

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