Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. O momento fletor na extremidade A

Obs: determinação do ângulo em A e B para o caso 1

Passo 1

Fala galera, essa questão vai ter algo novo, pois com dois engastes, vamos precisar quebrar dois vínculos, e isso significa que vamos ter que dividir a nossa viga original hiperestática em 3 vigas isostáticas. Uma com o carregamento original, e duas com os vínculos quebrados como carregamento, desse modo, teremos que:

Agora pensa no seguinte, aqui vamos ter 4 passos a executar, para essa primeira parte temos que determinar o ângulo em A e B para o caso 1. Depois temos que determinar o ângulo em A e B para a viga 2 na parte 2. E por fim, determinamos o ângulo para A e B no caso 3 na parte 3. A ultima parte vai ser exatamente lembrarmos que a soma dos ângulos em A tem que ser zero, porque temos ali um engaste, e em B funciona do mesmo modo, beleza? Então chega de ladainha e vamos lá.

Passo 2

Vamos começar para o caso 1, e para isso precisamos das reações de apoio, então assim, vamos ter que:

∑ M B = 0

- V A L + w 0 L 2 × 1 2 × 1 3 L 2 + L 2 + w 0 L 2 × 1 2 × 2 3 L 2 = 0

- V A L + w 0 L 2 × 1 2 × L 6 + 3 L 6 + w 0 L 2 × 1 2 × L 3 = 0

- V A L + w 0 L 2 6 + w 0 L 2 12 = 0

- V A L + w 0 2 L 2 12 + w 0 L 2 12 = 0

V A = 3 w 0 L 12 = w 0 L 4

∑ F V = 0

V A + V B - w 0 L 2 × 1 2 - w 0 L 2 × 1 2 = 0

w 0 L 4 + V B - w 0 L 4 - w 0 L 4 = 0

V B = w 0 L 4

Agora perceba o seguinte, suponha que ao invés de termos os apoios em A e B, vamos supor que eles são cargas aplicadas na nossa viga, e que no caso no ponto C temos um engaste, então basta desenharmos o diagrama de cada carga com relação ao ponto C, assim, teremos que:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , referente a cada uma das barras, e assim teremos que:

Passo 3

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a declividade? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

( L ) θ A = ( L ) θ B - ( L ) θ B / A

( L ) θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A L

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = w 0 L 2 24 E I × L 2 × 1 4 = w 0 L 3 192 E I

A 2 = w 0 L 2 24 E I × L 2 × 1 4 = w 0 L 3 192 E I

A 3 = - w 0 L 2 8 E I × L 2 × 1 2 = - w 0 L 3 32 E I

A 4 = - w 0 L 2 8 E I × L 2 × 1 2 = - w 0 L 3 32 E I

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 + A 4 y 4

y B / A = w 0 L 3 192 E I × 3 L 5 + w 0 L 3 192 E I × 2 L 5 - w 0 L 3 32 E I × 2 L 3 - w 0 L 3 32 E I × L 3

y B / A = 3 w 0 L 4 960 E I + 2 w 0 L 4 960 E I - 2 w 0 L 4 96 E I - w 0 L 4 96 E I

y B / A = 3 w 0 L 4 960 E I + 2 w 0 L 4 960 E I - 20 w 0 L 4 960 E I - 10 w 0 L 4 960 E I

y B / A = - 25 w 0 L 4 960 E I = - 5 w 0 L 4 192 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo A, com isso teremos que:

θ A = - y B A L = - - 5 w 0 L 4 192 E I L = 5 w 0 L 3 192 E I

Passo 4

Porém, lembre-se que o nosso objetivo é determinar os dois ângulos dessa viga nessa primeira parte, assim, como já definimos o ângulo A, vamos para o ângulo B, e aqui é muito simples, baste pensarmos, qual a relação do ângulo A com o ângulo B? podemos usar a seguinte equação.

θ A / B = θ A - θ B

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em B, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ B = θ A - θ A / B

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo B eu não irei modificar.

L θ B = L θ A - L θ A / B

L θ B = y A - y A / B

E sabemos que a deformação em A é zero, assim temos que:

θ B = - y A / B L

E para determinarmos a deformação y A / B precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ A, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito A / B . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = w 0 L 2 24 E I × L 2 × 1 4 = w 0 L 3 192 E I

A 2 = w 0 L 2 24 E I × L 2 × 1 4 = w 0 L 3 192 E I

A 3 = - w 0 L 2 8 E I × L 2 × 1 2 = - w 0 L 3 32 E I

A 4 = - w 0 L 2 8 E I × L 2 × 1 2 = - w 0 L 3 32 E I

E além das áreas precisamos da distância de cada centroide até o nosso ponto A, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 + A 4 y 4

y A / B = w 0 L 3 192 E I × 2 L 5 + w 0 L 3 192 E I × 3 L 5 - w 0 L 3 32 E I × L 3 - w 0 L 3 32 E I × 2 L 3

y A / B = 2 w 0 L 4 960 E I + 3 w 0 L 4 960 E I - w 0 L 4 96 E I - 2 w 0 L 4 96 E I

y A / B = 2 w 0 L 4 960 E I + 3 w 0 L 4 960 E I - 10 w 0 L 4 960 E I - 20 w 0 L 4 960 E I

y A / B = - 25 w 0 L 4 960 E I = - 5 w 0 L 4 192 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo B, com isso teremos que:

θ B = - y A B L = - - 5 w 0 L 4 192 E I L = 5 w 0 L 3 192 E I

Resposta

θ A = 5 w 0 L 3 192 E I

θ B = 5 w 0 L 3 192 E I

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