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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 96

Para a viga e o carregamento mostrados, determine a deflexão do ponto D . Use E = 200   G P a .

Passo 1

Fala aí, galera. Tudo certo? Vamos fazer mais uma questão.

Este problema nos pede para determinarmos a deflexão no ponto D . Para isso, vamos adicionar uma carga fictícia Q e então, vamos esboçar o D C L pra ver como o nosso problema vai ficar:

Em seguida, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos as reações de apoio:

∑ M B = 0 - 3,2 R A + 2,6 Q + 0,6 90 = 0 R A = 16,875 + 0,8125 Q

E também:

∑ M A = 0 - 3,2 R B - 0 , 6 Q + 2 , 6 90 = 0 R B = 73,125 + 0 , 1875 Q

Passo 2

Em seguida, vamos determinar a energia de deformação total para esta viga. Vamos lembrar que a a energia de deformação é uma grandeza escalar, portanto, ela vai ser a soma das energias de deformação para cada porção da viga:

U = 1 2 E I ∫ 0 3,2 M 2   d x = U A D + U D E + U E B

E então, ao derivarmos esta equação dos dois lados em função de Q , obteremos a deflexão, que neste caso, vai ser no ponto D . Temos:

δ D = ∂ M ∂ Q = 1 E I ∫ 0 3,2 M ∂ M ∂ Q   d x

Com isso, vamos encontrar o momento fletor M para cada porção da viga. Para a primeira A D , compreendida no intervalo 0 ≤ x ≤ 0 , 6 temos:

M = 16,875 + 0,8125 Q x

E a sua derivada em relação a Q , ou seja, a sua deflexão vai ser:

∂ M ∂ Q = 0,8125 x

Como nosso Q é 90   k N , a deformação no segmento A D vai ser:

∂ M ∂ Q = 1 2 E I ∫ 0 0,6 90 x ) ( 0,8125 x   d x

Logo, resolvendo esta integral, temos:

∂ M ∂ Q = 1 E I 5,265   k N ∙ m 3

Agora vamos repetir este processo para a porção D E , compreendida em 0,6 ≤ x ≤ 2,6 , temos que o momento fletor vai ser:

M = 16,875 x - 0,1875 Q x + 0,6 Q

E a deflexão, dada pela derivada parcial em Q , vai ser:

∂ M ∂ Q = - 0,1875 x + 0,6

Portanto:

∂ M ∂ Q = 1 2 E I ∫ 0 2 M ∂ M ∂ Q   d x

Resolvendo esta integral, temos que:

∂ M ∂ Q = 1 E I 32,4   k N ∙ m 3

Novamente, vamos repetir este processo para a porção E B , compreendida em 2 , 6 ≤ x ≤ 3 , 2 , temos que o momento fletor vai ser:

M = 73,125 + 0,1875 Q v

E a deflexão, dada pela derivada parcial em Q , vai ser:

∂ M ∂ Q = 0,1875 v

Portanto:

∂ M ∂ Q = 1 2 E I ∫ 0 0,6 M ∂ M ∂ Q   d x

Resolvendo esta integral, temos que:

∂ M ∂ Q = 1 E I 1,215   k N ∙ m 3

Passo 3

Agora é só substituirmos naquela relação que a gente comentou no último passo para encontrarmos a deformação no ponto D . Fica assim

δ D = ∂ U ∂ Q = 1 E I ∂ U A D ∂ Q + ∂ U D E ∂ Q + ∂ U E B ∂ Q

Para este perfil, sabemos que o momento de inercia é tabelado e dado por:

I = 51,2 × 10 - 6   m 4

Portanto:

E I = 200 × 10 9 51,2 × 10 - 6 = 10,240   k N ∙ m 2

Substituindo na equação da deformação:

δ D = 5,265 + 32,4 + 1,215 E I

δ D = - 3,80   m m

É isso, galera Bora pra próxima?

Resposta

δ D = - 3,80   m m

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Cada membro da treliça mostrada é feito de aço e tem uma seção transversal de área igual a 3230m m 2 . Usando-se E = 200G P a , determinar a deflexão vertical do ponto B , provocada pela carga de 90k
Cada um dos membros da treliça mostrada tem seção transversal uniforme de área A . Usando-se o método do trabalho e energia, determinar a deflexão vertical do ponto de aplicação da carga P .
Cada um dos membros da treliça mostrada é feita de aço e tem seção transversal de área igual a 400m m 2 . Usando-se E = 200G P a , determinar a deflexão no ponto D , provocada pela carga de 16N .
Usando o método do trabalho e energia, resolver o Prob. 3.34.
A barra de aço B C , de diâmetro 20m m , é presa à alavanca A B e ao apoio fixo C . A alavanca uniforme de aço tem 10m m de espessura e 30m m de largura. Usando o método do trabalho e energia, determi