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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 152

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação em cada apoio.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

P L 2 - C y L - A y 2 L = 0 → A y = P 4 - C y 2

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

P 4 - C y 2 + C y - P + B y = 0 → B y = 3 P 4 - C y 2

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - P 4 - C y 2 x = 0 → M = P 4 - C y 2 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre C e a força P, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - P 4 - C y 2 x + L - C y x = 0

M = P 4 - C y 2 x + L + C y x  

E, agora, estendendo a seção até um ponto entre a força localizada P e o ponto C, teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - P 4 - C y 2 x + 3 L 2 - C y x + L 2 + P x = 0

M = P 4 - C y 2 x + 3 L 2 + C y x + L 2 - P x  

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o momento causado pela reação de apoio em A, que chamaremos de momento 1, o causado pela reação de apoio em B, que chamaremos de momento 2, e o causado pela força localizada P, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = P 4 - C y 2 x   0 < x < 2 L

M 2 = C y x   L < x < 2 L

M 3 =   - P x   3 L 2 < x < 2 L

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos B, C e no local da força P para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 C = P 4 - C y 2 L → M 1 C = P 4 - C y 2 L

M 1 P = P 4 - C y 2 3 L 2 → M 1 P = P 4 - C y 2 . 3 L 2

M 1 B = P 4 - C y 2 2 L → M 1 B = P 4 - C y 2 2 L

M 2 C = 0

M 2 P = C y L 2 → M 2 P = C y L 2

M 2 B = C y L → M 2 b = C y L

M 3 P = 0

M 3 B = - P L 2 → M 3 B = - P L 2

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L P 4 - C y 2 L E I 2 → A 1 = P 4 - C y 2 . L 2 2 E I

x - 1 = b 3 = L 3 → x - 1 = L 3

A 2 = b h 2 = L 2 P 4 - C y 2 . 3 L 2 - P 4 - C y 2 L E I 2 → A 2 = P 4 - C y 2 . L 2 8 E I

x - 2 = b 3 = L 2 3 → x - 2 = L 6

A 3 = b h 2 = L 2 P 4 - C y 2 2 L - P 4 - C y 2 . 3 L 2 E I 2 → A 3 = P 4 - C y 2 . L 2 8 E I

x - 3 = b 3 = L / 2 3 → x - 3 = L 6

A 4 = b h = L 2 P 4 - C y 2 L E I → A 4 = P 4 - C y 2 . L 2 2 E I

x - 4 = b 2 = L 2 2 → x - 4 = L 4

A 5 = b h = L 2 P 4 - C y 2 . 3 L 2 E I → A 5 = P 4 - C y 2 . 3 L 2 4 E I

x - 5 = b 2 = L 2 2 → x - 5 = L 4

A 6 = b h 2 = L 2 C y L 2 E I 2 → A 6 = C y L 2 8 E I

x - 6 = b 3 = L 2 3 → x - 6 = L 6

A 7 = b h 2 = L 2 C y L - C y L 2 E I 2 → A 7 = C y L 2 8 E I

x - 7 = b 3 = L 2 3 → x - 7 = L 6

A 8 = b h = L 2 C y L 2 E I → A 8 = C y L 2 4 E I

x - 8 = b 2 = L 2 2 → x - 8 = L 4

A 9 = b h 2 = L 2 - P L 2 E I 2 → A 9 = - P L 2 8 E I

x - 9 = b 3 = L 2 3 → x - 9 = L 6

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto A pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ A = - t C / A L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio C em relação a A é dado por:

t C / A = A 1 x - 1

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t C / A = P 4 - C y 2 . L 2 2 E I L 3

t C / A = P 4 - C y 2 . L 3 6 E I

Então a inclinação em A será:

θ A = - t C / A L = - P 4 - C y 2 . L 3 6 E I L → θ A = P 4 - C y 2 . L 2 6 E I

Passo 7

Agora, para descobrir o valor da reação no ponto C, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área entre os pontos B e A, que nos dará:

t B / A = A B A x - + θ A x B A → t B - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 5 x - 5 + A 6 x - 6 + A 7 x - 7 + A 8 x - 8 + A 9 x - 9 + θ A x B A

Substituindo os valores conhecidos, e sabendo que não temos deflexão nos pontos A e B devido aos apoios, teremos:

0 - 0 = P 4 - C y 2 . L 2 2 E I L + L 3 + P 4 - C y 2 . L 2 8 E I L 2 + L 6 + P 4 - C y 2 . L 2 8 E I L 6 + P 4 - C y 2 . L 2 2 E I L 2 + L 4 + P 4 - C y 2 . 3 L 2 4 E I L 4 + C y L 2 8 E I L 2 + L 6 + C y L 2 8 E I L 6 + C y L 2 4 E I L 4 + - P L 2 8 E I L 6

0 = P L 3 6 E I - C y L 3 3 E I + P L 3 36 E I - C y L 3 24 E I + P L 3 192 E I - C y L 3 96 E I + 3 P L 3 32 E I - 3 C y L 3 16 E I + 3 P L 3 64 E I - 3 C y L 3 32 E I + C y L 3 12 E I + C y L 3 48 E I + C y L 3 16 E I - P L 3 48 E I

96 P L 3 + 16 P L 3 + 3 P L 3 + 54 P L 3 + 27 P L 3 - 12 P L 3 576 E I = 32 C y L 3 + 4 C y L 3 + C y L 3 + 18 C y L 3 + 9 C y L 3 - 8 C y L 3 - 2 C y L 3 - 6 C y L 3 96 E I

184 P L 3 576 E I = C y L 3 2 E I → C y = 23 P 36

Opa, agora é só substituir essa expressão nas equações encontradas para A y e B y lá no passo 2, então teremos:

A y = P 4 - C y 2 = P 4 - 23 P 36 2 → A y = - 5 P 72

B y = 3 P 4 - C y 2 = 3 P 4 - 23 P 36 2 → B y = 31 P 72

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

A y = - 5 P 72

B y = 31 P 72

C y = 23 P 36

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A viga de madeira está sujeita à carga mostrada na figura. Considere que o apoio em A é um pino e em B, um rolete. Determine a inclinação em A e o deslocamento em C. Use o teorema dos momentos de área
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